习题 2 把下列函数表示成指数傅里叶级数，并画出频谱。
(1) f (x) rect(x 2n) n
证明下列傅里叶变换关系式：
(2) g(x) tri(x 2n) n
(1) F{rect(x)rect( y)} sinc( )sinc() ; (2) F{(x)( y)} sinc2 ( )sinc2 () ;
证明下列傅里叶-贝塞尔变换关系式：
(1) 若 fr (r) (r r0 ) ，则 B{ fr (r)} 2πr0J0 (2πr0) ;
(2)
若 a r 1时
fr (r) 1，而在其他地方为零，则 B{ fr (r)}
J1(2π) aJ1(2πa)
;
(3)
若
B{
fr
(r)}
F () ，则
]
习题4
尺寸为 ab 的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠零后的平面上透射 光场的角谱。
采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求菲涅耳衍射图样在孔径 轴上的强度分布：
(1) t(x0, y0 ) circ( x02 y02 ) 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为：
(3) f3(x) [1 cos(8πx)]rect(x / 75) (4) f4 (x) comb(x) * rect(2x)
给定正实常数0 和实常数 a 和 b ，求证：
(1)
若| b |
1 20
，则
|
1 b
|
sinc(
x
/
b)
*
cos(2
π0
x)
cos(2π0
x)
(2)
若| b |
1 20
x
2
1
★
rect
x
1 2
(2) tri2x 1 ★ tri2x 1
应用傅里叶定理求下面Байду номын сангаас分。
(1) eπx2 cos(2πax)dx
(2) sinc2 (x)sin(πx)dx
求函数 f (x) rect(x) 和 f (x) tri(x) 的一阶和二阶导数。
试求下图所示函数的一维自相关。
，则
|
1 b
|
sinc(
x
/
b)
*
cos(2π0
x)
0
(3) 若| b || a | ，则 sinc(x / b)*sinc(x / a) | b | sinc(x / a)
(4) 若| b | | a | ，则 sinc(x / b) *sinc2 (x / a) | b | sinc2 (x / a) 2
(3) F{1} (,) ;
(4)
F{sgn(
x)
sgn(
y)}
1 iπ
1 iπ
;
(5) F{n (sin nx)};
F e (6)
π(x2 y2 )/ a2
。
求 x 和 xf (2x) 的傅里叶变换。
求下列函数的傅里叶逆变换，画出函数及其逆变换式的图形。
H ( ) tri( 1) tri( 1)
间频率与输入相同的实数值正弦函数用系统适当的特征表示出输出的振幅和相位。
证明零阶贝塞尔函数 2J0 (2π0r) 是任何具有圆对称脉冲响应的线性不变系统的本征函数。对应的本征
值是什么 傅里叶系统算符可以看成是函数到其他变换式的变换，因此它满足本章把提出的关系系统的定义。试问：
(a) 这个系统是线性的吗 (b) 你是否具体给出一个表征这个系统的传递函数如果能够，它是什么如果不能，为什么不能
若对函数： h(x) asinc2 (ax) 抽样，求允许的最大抽样间隔。
证明在频率平面上一个半径为 B 的圆之外没有非零的频谱分量的函数，遵从下述抽样定
理：
g(x,
y)
n
m
g
n 2B
,
m 2B
π 4
2
J1[2πB 2πB
(x n / 2B)2 ( y m / 2B)2 (x n / 2B)2 ( y m / 2B)2
(2) F{sinc(x)sinc(2x)}
用宽度为 a 的狭缝，对平面上强度分布 f (x) 2 cos(2π0x)
扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出强度分布。
利用梳状函数与矩形函数的卷积表示光栅的透过率。假定缝宽为 a ，光栅常数为 d ，缝数为 N 。
计算下面函数的相关。
(1)
rect
F( ,)dd
分别为原函数 f (x, y) 及其频谱函数 F( ,) 的“等效面积”和“等效带宽”，试证明：
xy 1
上式表明函数的“等效面积”和“等效带宽”成反比，称为傅里叶变换反比定理，亦称面积计算定理。
已知线性不变系统的输入为： f (x) comb(x) 。系统的传递函数为 rect( / b) 。当 b 1和 b 3 时，求
(1) H (x) tri(x 1) tri(x 1)
(2) G(x) rect(x / 3) rect(x)
表达式
p(x,
y)
g(x,
y) *
comb
x X
comb
y Y
定义了一个周期函数，它在 x 方向上的周期为 X ，它在 y 方向上的周期为Y 。
(a) 证明 p 的傅里叶变换可以写为：
B{
fr
(r)}
1 a2
a
;
(4) B{eπr2 } eπ2
设 g(r, ) 在极坐标中可分离变量。证明若 f (r, ) fr (r)eim ，则：
F{ f (r, )} (i)m eim Hm{ fr (r)}
其中 Hm{}为 m 阶汉克尔变换： Hm{ fr (r)} 2π 0 rfr (r)Jm (2πr)dr 。而 (,) 空间频率中的极坐
试计算函数 f (x) rect(x 3) 的一阶矩。
证明实函数 f (x, y) 的自相关是实的偶函数，即： Rff (x, y) Rff (x, y) 。
求下列广义函数的傅里叶变换。
(1) step(x)
(2) sgn(x)
(3) sin(2π 0x)
求下列函数的傅里叶逆变换，并画出函数及其逆变换式的图形。
某一成像系统的输入是复数值的物场分布Uo (x, y) ，其空间频率含量是无限的，而系统的输出是像场分
布Ui (x, y) 。可以假定成像系统是一个线性的空间不变换低通滤波器，其传递函数在频域上的区间
| | Bx ，| | By 之外恒等于零。证明，存在一个由点源的方形阵列所构成的“等效”物体Uo (x, y) ，
它与真实物体U o 产生完全一样的像U i ，并且等产供效物体的场分布可写成：
Uo (x, y)
n m
U0 ( ,)sinc(n 2BX )sinc(m 2BY)dd
x
n 2BX
,
y
m 2BY
定义：
xy
1 f (0, 0)
f (x, y)dxdy ,
1 F(0, 0)
x
/100)
*
rect(
x)
若系统脉冲响应：h(x) rect(x 1) 。求系统的输出，并绘出传递函数、脉冲响应、输出及其频谱的
图形。 给定一线性不变系统，输入函数为有限延伸的三角波
g(x)
1 2
comb(
x
/
2)rect(
x
/
50)
*
tri(
x)
对下列传递函数利用图解方法确定系统的输出：
(1) H ( ) rect( / 2) (2) H ( ) rect( / 4) rect( / 2)
标。(提示： eiasin x
k
Jk
(a)eikx
)
计算下列各式的一维卷积。
(1)
rect
x
1 2
*
(2x
3)
(2)
rect
x
2
3
*
(x
4)
*
(
x
1)
(3)
rect
x
2
1
* comb(
x)
试用卷积定理计算下列各式。
(4)
sin
πx 2
rect ( x)
(1) sinc(x)*sinc(x)
系统的输出 g(x) ，并画出函数及其频谱。
对一个线性不变系统，脉冲响应为：
h(x) 7sinc(7x)
用频率域方法对下列的每一个输入 fi (x) ，求其输出 gi (x) (必要时，可取合理近似)：
(1) f1(x) cos 4πx
(2) f2 (x) cos(4πx)rect(x / 75)
(2)
t
(
x0
,
y0
)
1,
0,
a x02 y02 1 其它
t(x0 ) a b cos(2 x0 / d ) 式中， d 为光栅的周期， a b 0 。观察平面与光栅相距 z 。当 z 分别取下述值时，确定 单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。
(1)
2d 2 z zr
P( ,)
n
G
m
n X
,
m Y
n X
,
m Y
其中 G 是 g 的傅里叶变换。
(b)
当
g(
x,
y)
rect
2
x X
rect
2
y Y
时，
画出
函数
p(x, y) 的图形，并求出对应的傅里叶变换
P( ,) 。
习题 3
设在一线性系统上加一个正弦输入： g(x, y) cos[2π( x y)] ，在什么充分条件下，输出是一个空