专题二 分类讨论思想
1．(2017·潍坊)点A ，C 为半径是3的圆周上两点，点B 为AC ︵的中点，以线段BA ，BC 为邻边作菱形ABCD ，顶点D 恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为( ) A.5或2 2
B.5或2 3
C.6或2 2
D.6或2 3
2．(2016·宁夏)正比例函数y 1＝k 1x 的图象与反比例函数y 2＝k 2x
的图象相交于A ，B 两点，其中点B 的横坐标为－2，当y 1＜y 2时，x 的取值范围是( )
A ．x ＜－2或x ＞2
B ．x ＜－2或0＜x ＜2
C ．－2＜x ＜0或0＜x ＜2
D ．－2＜x ＜0或x ＞2
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为__________________．
4．(2016·沈阳)如图，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB ＝AC ，BC ＝20，DE 是△ABC 的中位线，点M 是边BC 上一点，BM ＝3，点N 是线段MC 上的一个动点，连接DN ，ME ，DN 与ME 相交于点O.若△OMN 是直角三角形，则DO 的长是__________．
5．(2016·丹东)如图，在平面直角坐标系中，A ，B 两点分别在x 轴、y 轴上，OA ＝3，OB ＝4，连接AB.点P 在平面内，若以点P ，A ，B 为顶点的三角形与△AOB全等(点P 与点O 不重合)，则点P 的坐标为__________．
6．(2017·黔西南州)赛龙舟是端午节的主要习俗，某市甲、乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比赛，从起点A 驶向终点B ，在整个行程中，龙舟离开起点的距离y(米)与时间x(分钟)的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)起点A 与终点B 之间相距多远？
(2)哪支龙舟队先出发？哪支龙舟队先到达终点？
(3)分别求甲、乙两支龙舟队的y 与x 函数关系式；
(4)甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距200米？
7．(2017·东营)如图，在等腰三角形ABC 中，∠BAC＝120°，AB ＝AC ＝2，点D 是BC 边上的一个动点(不与B ，C 重合)，在AC 上取一点E ，使∠ADE＝30°.
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)设BD ＝x ，AE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；
(3)当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．
8．(2017·威海)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)．点M ，N 为抛物
线上的动点，过点M 作MD∥y 轴，交直线BC 于点D ，交x 轴于点E.
(1)求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的表达式；
(2)过点N 作NF⊥x 轴，垂足为点F ，若四边形MNFE 为正方形(此处限定点M 在对称轴的右侧)，求该正方形的面积；
(3)若∠DMN＝90°，MD ＝MN ，求点M 的横坐标．
参考答案
1．D 2.B 3.65°或25° 4.256或5013
5．(3，4)或(9625，7225)或(－2125，2825
) 6．解：(1)由图可得，起点A 与终点B 之间相距3 000米．
(2)由图可得，甲龙舟队先出发，乙龙舟队先到达终点．
(3)设甲龙舟队的y 与x 函数关系式为y ＝kx ，
把(25，3 000)代入，可得3 000＝25k ，解得k ＝120， ∴甲龙舟队的y 与x 函数关系式为y ＝120x(0≤x≤25)．
设乙龙舟队的y 与x 函数关系式为y ＝ax ＋b ，
把(5，0)，(20，3 000)代入，可得⎩
⎪⎨⎪⎧0＝5a ＋b ，3 000＝20a ＋b ， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝200，b ＝－1 000， ∴乙龙舟队的y 与x 函数关系式为
y ＝200x －1 000(5≤x≤20)．
(4)令120x ＝200x －1 000，可得x ＝12.5，
即当x ＝12.5时，两龙舟队相遇．
当x ＜5时，令120x ＝200，则x ＝53，符合题意； 当5≤x＜12.5时，令120x －(200x －1 000)＝200，则x ＝10，符合题意； 当12.5＜x≤20时，令200x －1 000－120x ＝200，则x ＝15，符合题意；
当20＜x≤25时，令3 000－120x ＝200，则x ＝703
，符合题意． 综上所述，甲龙舟队出发53或10或15或703分钟时，两支龙舟队相距200米． 7．(1)证明：∵在等腰△ABC 中，∠BAC ＝120°，
∴∠ABD＝∠ACB＝30°，
∴∠ABD＝∠ADE.
∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠ABD＋∠DAB，
∴∠EDC＝∠DAB，∴△ABD∽△DCE.
(2)解：∵AB＝AC ＝2，∠BAC＝120°，
容易得出BC ＝23，
则DC ＝23－x ，EC ＝2－y.
∵△ABD∽△DCE，
∴AB BD ＝DC CE ，即2x ＝23－x 2－y
， 化简得y ＝12
x 2－3x ＋2(0<x<23)． (3)解：①当AD ＝DE 时，
由(1)可知，此时△ABD≌△DCE，
则AB ＝CD ，即2＝23－x ，
x ＝23－2，代入y ＝12
x 2－3x ＋2， 解得y ＝4－23，即AE ＝4－2 3.
②当AE ＝ED 时，
∠EAD＝∠EDA＝30°，∠AED＝120°，
∴∠DEC＝60°，∠EDC＝90°，
则ED ＝12EC ，即y ＝12
(2－y)，
解得y ＝23，即AE ＝23. ③当AD ＝AE 时，
∠AED＝∠EDA＝30°，∠EAD＝120°，
此时点D 与点B 重合，与题目不符，此情况不存在．
综上，当△AD E 是等腰三角形时，AE ＝4－23或AE ＝23
. 8．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A(－1，0)，点B(3，0)， ∴设抛物线的函数表达式为y ＝a(x ＋1)(x －3)．
将点C(0，3)代入上式，得3＝a(0＋1)(0－3)，
解得a ＝－1.∴所求函数表达式为y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3.
(2)由(1)知，抛物线的对称轴为x ＝－
22×（－1）
＝1. 如图1，设M 点坐标为(m ，－m 2＋2m ＋3)．
图1 ∴ME＝|－m 2
＋2m ＋3|.
∵M，N 关于x ＝1对称，且点M 在对称轴右侧，
∴N 点横坐标为2－m.
∴MN＝2m －2.
∵四边形MNFE 为正方形，
∴ME＝MN ，
∴|－m 2＋2m ＋3|＝2m －2.
分两种情况：
①－m 2＋2m ＋3＝2m －2，
解得m 1＝5，m 2＝－5(不符合题意，舍去)．
当m ＝5时，正方形的面积为(25－2)2＝24－8 5.
②m 2－2m －3＝2m －2，
解得m 3＝2＋5，m 4＝2－5(不符合题意，舍去)．
当m ＝2＋5时，正方形的面积为[2(2＋5)－2]2＝24＋8 5.
综上所述，正方形的面积为24－85或24＋8 5.
(3)设直线BC 的函数表达式为y ＝kx ＋b.把点B(3，0)，
C(0，3)代入表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3， ∴直线BC 的函数表达式为y ＝－x ＋3.
设点M 的坐标为(a ，－a 2＋2a ＋3)，
则点D 的坐标为(a ，－a ＋3)．
∴DM＝|－a 2＋3a|.
∵DM∥y 轴，DM⊥MN，
∴MN∥x 轴．∴M ，N 关于x ＝1对称．
∴N 点横坐标为2－a ，
∴MN＝|2a －2|.
∵DM＝MN ，
∴|－a 2＋3a|＝|2a －2|.
分两种情况：
①如图2，－a 2＋3a ＝2a －2，
解得a 1＝2，a 2＝－1.
图2
图3
②如图3，－a 2
＋3a ＝2－2a ，
解得a 3＝5＋172，a 4＝5－172
. 综上所述，M 点的横坐标为a 1＝2，a 2＝－1，a 3＝5＋172，a 4＝5－172.。