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角度三：由已知条件求 n 的值或参数的值 5．(2019·浙江考前冲刺)若二项式(2x＋a x)n 的展开式中所有
项的二项式系数和为 32，x3 的系数是 160，则 n＝________， a＝________. 解析：∵2n＝32，∴n＝5，二项展开式的通项 Tr＋1＝ Cr5(2x)5－rarx2r＝C5r25－rarx5－2r，当 5－2r＝3 时，r＝4， ∴C45×2×a4＝160，解得 a＝±2. 答案：5 ±2
x
的展开式中，x2
的系数为________．
解析：x－2
1
5
x
的展开式的通项为
Tr＋1＝Cr5x5－r·－12r·x－2r＝－12rC5rx 5－32r .
令 5－32r＝2，解得 r＝2.
故展开式中 x2 的系数为－122C52＝52. 答案：52
[通法在握]
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求二项展开式中的特定项的方法
求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项 Tk＋1＝ Cnkan－kbk 的特点，一般需要建立方程求 k，再将 k 的值代回通 项求解，注意 k 的取值范围(k＝0,1,2，…，n)．
(1)第 m 项：此时 k＋1＝m，直接代入通项；
(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”
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[题点全练] 角度一：求展开式中的某一项
1．二项式4x2－1x6 展开式中的第 4 项为
A．－1 280x3
B．－1 280
C．240
D．－240
()
解析：4x2－1x6 展开式中的第 4 项为 T3＋1＝C36(4x2)3－1x3＝ －1 280x3，选 A.
答案：A
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2．(2019·浙江名校联考)(1＋x－2)( x－2)5 的展开式中的常数
项是
()
A．5
B．－10
C．－32
D．－42
1
解析：( x－2)5 的展开式的通项 Tr＋1＝Cr5(x 2 )5－r·(－2)r，
令5－2 r＝0，得 r＝5；令5－2 r＋(－2)＝0，得 r＝1，
所以常数项是 C15(－2)1＋C55(－2)5＝－42. 答案：D
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2．二项式系数最大项的确定方法 (1)如果 n 是偶数，则中间一项第n2＋1项的二项式系数 最大； (2)如果 n 是奇数，则中间两项第n＋2 1项与第n＋2 1＋1项 的二项式系数相等并最大．
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[即时应用]
1．已知x－1xn 的展开式中第 3 项与第 6 项的二项式系数相等，
D．112
解析：∵x＋x238 展开式的通项为 Tr＋1＝Cr8x8－r·x23r＝ Cr82rx8－4r，令 8－4r＝0，得 r＝2，∴二项式x＋x238 的展开式中的常数项为 C8222＝112. 答案：D
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2．(1－2x)7 的展开式中 x3 的系数为________． 解析：Tr＋1＝Cr717－r(－2x)r＝Cr7(－2)rxr， 令 r＝3. 则 x3 的系数为 C37(－2)3＝35×(－8)＝－280. 答案：－280
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课 堂 考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
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考点一 二项展开式中特定项或系数问题
题点多变型考点——多角探明 [锁定考向] 二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考 命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不 大，多为容易题或中档题． 常见的命题角度有： (1)求展开式中的某一项； (2)求展开式中的项的系数或二项式系数； (3)由已知条件求 n 的值或参数的值．
的幂指数为 0 建立方程；
(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．
特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述
方法求解．
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[演练冲关] 1．(2019·丽水、衢州、湖州三市质检)若x－xa26 的展开式中
x3 的系数为－12，则 a＝________；常数项是________． 解析：由于二项展开式的通项 Tr＋1＝C6rx6－r－xa2r＝ (－a)rCr6x6－3r，令 6－3r＝3，则 r＝1，所以(－a)C16＝ －6a＝－12，a＝2；令 6－3r＝0，则 r＝2，所以常数 项是(－2)2C62＝4×15＝60. 答案：2 60
第四 节 二项式定理
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
课后·三维演练
基础练、题型练、能力练、全练力保全能
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课 前 双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
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必过 教材 关
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1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝ Cn0an＋C1nan－1b＋…＋Cnkan－kbk＋…
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3．
x－
1
4
8 的展开式中的有理项共有________项．
2 x
解析：∵Tr＋1＝Cr8(
x)8－r－2
1 4
xr＝－12rCr8x
16－3r 4
，
∴r 为 4 的倍数，
故 r＝0,4,8，共 3 项．
答案：3
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必过易错关
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1．二项式的通项易误认为是第 k 项，实质上是第 k＋1 项． 2．(a＋b)n 与(b＋a)n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一
则展开式中系数最大的项为
()
A．第 5 项
B．第 4 项
C．第 4 项或第 5 项 D．第 5 项或第 6 项 解析：∵x－1xn 的展开式中第 3 项与第 6 项的二项式系数 相等，∴C2n＝Cn5，得 n＝7.又展开式中第 r＋1 项的系数为 Cr9－1r，当 r＝4 时，Cr9(－1)r 最大，∴展开式中系数最大 的项为第 5 项． 答案：A
n－4r≠0， 为 Tr＋1＝Crnxn－4r，所以n－4r≠－1，
n－4r≠－2
经验证得 n＝5.
答案：5
考点二
二项式系数的性质或各项系数和
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重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
1．在二项式(1－2x)n 的展开式中，偶数项的二项式系数之和
为 128，则展开式的中间项的系数为
()
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2．(2019·嘉兴高三测试)(x＋2)(x＋1)6 的展开式中，x3 项的系 数为________；所有项系数的和为________． 解析：(x＋1)6 的展开式的通项 Tr＋1＝Cr6x6－r，从而含 x3 的 项为 x·C46x2＋2C63x3＝55x3，故 x3 项的系数为 55；所有项的 系数之和为 3×(1＋1)6＝192. 答案：55 192
要使二项式系数 Ck4最大，只有 k＝2， 故展开式中二项式系数最大的项为
T3＝C24(5x)2·(－ x)2＝150x3. 答案：150x3
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考点三 二项展开式的应用
[典例引领]
重点保分型考点——师生共研
设 a∈Z ，且 0≤a＜13，若 512 016＋a 能被 13 整除，则 a＝( )
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2 ． 若 x9 ＝ a0 ＋ a1(x － 1) ＋ a2(x － 1)2 ＋ … ＋ a9(x － 1)9 ， 则 a1＋a3＋aa75＋a7＋a9的值为________． 解析：令 x＝2，得 29＝a0＋a1＋a2＋…＋a8＋a9， 令 x＝0，得 0＝a0－a1＋a2－…＋a8－a9， 所以 a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝28. 又 x9＝[1＋(x－1)]9，其中 T8＝C79(x－1)7， 所以 a7＝C79＝36，故a1＋a3＋aa75＋a7＋a9＝23566＝694. 答案：694
(1－x)5 中 x4 的系数为 C54＝5，－(1－x)9 中 x4 的系数为 －C49＝－126，得－126＋5＝－121. 法二：由题意得含 x3 的项的系数是
－C35－C36－C73－C83＝－10－20－35－56＝－121. 答案：D
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4．(2018·天津高考)在x－2
1
5
A．0
B．1
C．11
D．12
解析：由于 51＝52－1，
(52－1)2 016＝C02 016522 016－C12 016522 015＋…－C22 001156521＋1， 又由于 13 整除 52，所以只需 13 整除 1＋a，
0≤a＜13，a∈Z ，所以 a＝12. 答案：D
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[由题悟法] 利用二项式定理解决整除问题的思路 (1)观察除式与被除式间的关系． (2)将被除式拆成二项式． (3)结合二项式定理得出结论．
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[由题悟法] 1．赋值法研究二项式的系数和问题 “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法， 对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R )的式子求其展开式 的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对形如 (ax＋by)n(a，b∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可．
()
A.－52
5 B.2
C.－221
21 D. 2
解析：二项式x－21x9 展开式的通项为 Tr＋1＝Cr9x9－r－21xr
＝Cr9－12rx9－2r，
令 9－2r＝3，得 r＝3，
所以 x3 项的系数为 C39－123＝－221，故选 C. 答案：C
项时是不相同的，所以公式中的第一个量 a 与第二个量 b 的位置不能颠倒． 3．易混淆二项式中的“项”，“项的系数”、“项的二项式 系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分， 包含符号，二项式系数仅指 Ckn(k＝0,1，…，n)．
[小题纠偏]
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1．(2018·宁波质检)二项式x－21x9 展开式中，x3 项的系数为