《高等数学（下）》自学、复习参考资料Ⅲ——使用前请详细阅读后面所附的“使用指南”授课教师：杨峰（省函授总站高级讲师）强烈建议同志们以《综合练习》为纲，仔细掌握其中的所有习题内容！各章复习范围：第一部分《矢量代数与空间解析几何》————第八章第一至六节、第八节（即是除了第七节之外都要复习）第二部分《多元函数微积分》————第九章第一至五节（其中第四节只要求“全微分”）————第十章第一至三节、第五节（即是第四、六节暂不作要求）第三部分《级数论》————第十一章都要复习敬告学员——本门课程复习资料我们是根据听课和教研的基本情况结合自己的理解、加工，尽量全面、系统地整理出来，但是也只能供大家参考使用而已，并不能代表考试的任何信息，特此说明。

不便之处，敬请原谅！另外，以后象这样的数理学科，众所周知，其难度较大，数字稍作变化，许多同志未必能做出来。

因此，这些科目的面授课建议大家都能克服困难，积极地参加，以获取准确的知识和复习信息，否则光是依赖网上复习参考资料，随时有不能一次通过的危险。

第十一章 级数一、常数项级数的概念与性质（了解） 1、无穷级数的概念 设有无穷数列 ,,,,,21⋅⋅⋅⋅⋅⋅n u u u则式子,21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n u u u称为无穷级数，简称级数。

记作∑∞=1n nu。

即,211⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=∑∞=n n nu u u u其中,,,,,21⋅⋅⋅⋅⋅⋅n u u u 叫做级数的项，而n u 叫做级数的一般项或通项，各项都是常数的级数称为常数级数。

例如⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n 321， ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n 3131313132。

就是常数项级数。

2、级数的收敛与发散 定义 设级数,21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n u u u 当n 无限增大时，如果部分和数列n s 有极限s ，即s s n n =∞→lim ， 则称该无穷级数是收敛的，这时极限s 叫做级数的和，并写成,21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=n u u u s如果数列n s 的极限不存在，则称该无穷级数发散，这时级数没有和。

3、级数的基本性质性质1 级数各项同乘以一个不为零的常数后，其敛散性不变。

性质2 收敛级数可以逐项相加或相减。

即设有两个收敛级数,21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=n u u u s,21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=n v v v δ则级数δ±=⋅⋅⋅+±+⋅⋅⋅+±+±s v u v u v u n n )()()(2211。

性质3 在级数前面加上（或去掉）有限项，其敛散性不变。

（因此我们分析级数的敛散性时可忽略前面的一些项。

） 性质4 收敛级数加括号后所成的级数仍然收敛，且和不变。

4、级数收敛的必要条件重要定理 若级数∑∞=1n nu收敛，则当∞→n 时，一般项n u 趋于零，即0lim =∞→n n u 。

所以一般项趋于零是级数收敛的必要条件。

换言之，若0lim ≠∞→n n u ，则级数∑∞=1n nu发散。

（这是判断一个级数发散常用的方法之一）二、正项级数及其判敛法 如果级数,21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n u u u的各项都是非负数（即0≥n u ，n=1，2，…），则称这个级数为正项级数。

1、比较判别法（会用）设两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv，如果级数∑∞=1n nv收敛，且),,2,1(⋅⋅⋅=≤n v u n n 则级数∑∞=1n nu也收敛；如果级数∑∞=1n nv发散，且),,2,1(⋅⋅⋅=≥n v u n n 则级数∑∞=1n nu也发散。

应熟记的几个级数的敛散性： （1）等比级数（几何级数）当1<q 时，等比级数∑∞=-11n n aq收敛，且和为qa-1；当1≥q 时，等比级数∑∞=-11n n aq 发散。

（2）调和级数∑∞=11n n是发散的。

（3）P —级数当1≤P 时，P 级数∑∞=11n P n 发散；当1>P 时，P 级数∑∞=11n P n 收敛。

2、比值判敛法（掌握）定理 设正项级数∑∞=1n nu有ρ=+∞→nn n u u 1lim 则当1<ρ时，级数收敛；当1>ρ时，级数发散；当1=ρ时级数可能收敛，也可能发散。

三、交错级数及其判敛法 1、级数,)1(14321⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+--n n u u u u u其中0>nu （n=1，2，…）称为交错级数。

2、交错级数判敛法（莱布尼兹判敛法）如果交错级数),2,1,,0()1(11⋅⋅⋅=>-∑∞=-n u u n n n n 满足下列条件：（1）),2,1(1⋅⋅⋅=≥+n u u n n ；（2）0lim =∞→n n u 。

则交错级数),2,1,,0()1(11⋅⋅⋅=>-∑∞=-n u u n n n n 收敛，且它的和1u s≤，其余项nr 的绝对值1+≤n n u r四、任意项级数、绝对收敛和条件收敛（了解） 既有正项，又有负项的级数,21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n u u u称为任意项级数。

定理2 如果正项级数∑∞=1n n u 收敛，则任意项级数∑∞=1n nu也收敛。

定义 若正项级数∑∞=1n n u 收敛，则称任意项级数∑∞=1n nu为绝对收敛；若任意项级数∑∞=1n nu收敛，而正项级数∑∞=1n n u 发散，则称任意项级数∑∞=1n nu为条件收敛。

注意：（1）交错级数是任意项级数；（2）绝对收敛和条件收敛是对任意项级数来说的； （3）正项级数不存在绝对收敛和条件收敛。

判定数项级数敛散性的方法：方法一：级数∑∞=1n nu的前n 项和n s 的极限，即n n s ∞→lim 存在，则级数∑∞=1n nu收敛，否则级数发散。

如：（1）∑∞=+1)1(1n n n111)111()4131()3121()211()1(1431321211+-=+-++-+-+-=+++⨯+⨯+⨯=n n n n n s n 1)111(lim lim =+-=∞→∞→n s n n n ∴该级数收敛且和S = 1。

（2）∑∞=+1)11ln(n n)1ln()134232ln(1ln34ln 23ln 2ln +=+⨯⨯⨯⨯=+++++=n nn n n s n ∞=+=→∞→∞)1(lim lim n s n n n∴该级数发散。

方法二：（步骤）（一）、首先考察n u ，如果01≠∑∞=n nu，则级数发散；（二）、如果01=∑∞=n nu，则级数敛散性不定，根据级数的不同类型，采用不同的判敛方法 ； 1、正项级数：比值法、比较法； 2、交错级数：用莱布尼兹判敛法；3、任意项级数：先判定由它的各项取绝对值后所得的正项级数的敛散性。

如果正项级数是收敛的，则原任意项级数绝对收敛；如果正项级数发散，则原任意项级数可能是条件收敛，也可能发散。

方法三：用级数的定义和性质判定级数的敛散性。

例1 判定下列级数的敛散性：（1） ++++114835221 解： 级数的通项为：13-=n nu n03113lim lim ≠=-=∞→∞→n n u n n n ∴该级数发散。

（2）∑∞=-12)12(1n n n解：此级数为正项级数。

∵1211212lim 2112)12(2)12(1lim lim 11<=+-=-⋅+=∞→+∞→+∞→n n n n u u n n n n n n n∴该级数收敛。

（3）∑∞=1!2n nn解：此级数为正项级数。

∵1012lim 2!)!1(2lim lim 11<=+=⋅+=∞→+∞→+∞→n n n u u n n n n nn n∴该级数收敛。

（4）∑∞=1!n n nn a n （0>a ，e a ≠）解：此级数为正项级数。

1)11(lim 1)1(lim 1!)!1()1(lim lim 111≠=+=+=⋅++=∞→∞→++∞→+∞→ae n a n n a n n a n a n u u n n n n n n n n n n n n n ∴1）当1<a e，即e a >时，级数收敛； 2）当1>ae，即e a <时，级数发散。

（5）∑∞=+111n n n解：此级数为正项级数。

分析：因为∵ 112)1(1lim lim 1+⋅++=→∞+→∞n n n n u u n nn n121)11(11lim =+++=∞→nn nn∴不能用比值法判敛。

但∵231111nnn n n u n =<+=又∵P 级数∑∞=131n n 是收敛的，∴∑∞=+111n n n 收敛。

（6）∑∞=++1211n n n解：∵nn n n n n u n +=+++>++=112111122 又 +++=+∑∞=413121111n n是少了第一项的调和级数，所以是发散的，∴原级数∑∞=++1211n n n是发散的。

例2 讨论级数∑∞=--111)1(n p n n （P>0）的敛散性。

解： ∵∑∑∞=∞=-=-11111)1(n p n pn nn 当1>p 时，∑∞=11n pn收敛，∴级数∑∞=--111)1(n p n n 绝对收敛；而当10≤<p 时，∑∞=11n pn 发散，又∑∞=--111)1(n p n n 是交错级数，用布莱尼兹判别法：∵ 1）1)1(11+=+>=n p p n u n n u ； 2）01lim lim ==∞→∞→p n n n nu 。

∴∑∞=--111)1(n p n n 收敛。

综上所述，级数∑∞=--111)1(n p n n （P>0）1）当1>p 时，绝对收敛；2）当10≤<p 时，条件收敛。

重要说明：级数∑∞=--111)1(n p n n 的敛散性大家要熟记，正项级数的判敛法是重要的考试内容。

五、幂级数（掌握） 1、如果级数,)()()(21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++x u x u x u n的各项都有是定义在某区间上的函数，则称该级数为函数项级数。

函数项级数的全体收敛点称为它的收敛域。

2、形如,2210⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n n x a x a x a a称为x 的幂级数。

3、幂级数的敛散性（1）根据等比级数可得幂级数∑∞=0n n x 的收敛域是（-1，1）。

（2）幂级数收敛半径的求法； 设幂级数,2210⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nn x a x a x a a如果相邻两项的系数1,+n n a a 有ρ=+∞→nn n a a 1lim 则1）当0≠ρ时，幂级数在)1,1(ρρ-内绝对收敛，在端点ρ1±=x 处的敛散性需另行判定。

ρ1称为收敛半径，记为R ，即ρ1=R 。