y (t) FD FS FI F (t)
平衡方程： 平衡方程：
FI + FD + FS = F (t ) FI = mɺɺ y FS = ky ɺ F D = cy
惯性力： 根据d’Alembert原理： 惯性力： 根据 原理： 原理 弹性力： 等于弹簧刚度与位移的乘积： 弹性力： 等于弹簧刚度与位移的乘积：
概念：动荷载是时间的函数！ 概念：动荷载是时间的函数！ 分类： 分类： 周期性荷载 确定性荷载 动荷载 非确定性荷载 非周期性荷载
确定性荷载：荷载的变化是时间的确定性函数。 确定性荷载：荷载的变化是时间的确定性函数。
FP
例如： 例如： 简谐荷载
t
FP
冲击荷载
t
FP
突加荷载
t
非确定性荷载： 荷载随时间的变化是不确定的或不确知的， 非确定性荷载： 荷载随时间的变化是不确定的或不确知的， 又称为随机荷载。 又称为随机荷载。 例如： 例如：
阻尼力： 阻尼力等于阻尼系数与速度的乘积： 阻尼力： 阻尼力等于阻尼系数与速度的乘积： 由此得到体系的运动方程： 由此得到体系的运动方程： 运动方程
ɺ mɺɺ + cy + ky = F (t ) y
（2-3） ）
刚度法: 取每一运动质量为隔离体， 刚度法 取每一运动质量为隔离体，通过分析所受 的全部外力， 的全部外力，建立质量各自由度的瞬时力平衡方 运动方程。 得到体系的运动方程 程，得到体系的运动方程。
静荷载： 静荷载： 动荷载： 动荷载：
大小、 大小、方向和作用点不随时间变 化或变化很缓慢的荷载。 很缓慢的荷载 化或变化很缓慢的荷载。 大小、方向或 大小、方向或作用点随时间变化 很快的荷载 的荷载。 很快的荷载。
快慢标准： 是否会使结构产生显著 显著的加速度 快慢标准： 是否会使结构产生显著的加速度 标准 显著标准： 显著标准： 质量运动加速度所引起的惯性力 标准 与荷载相比是否可以忽略
第二章 运动方程的建立
y (t)
单自由度 体系模型
c F (t) m k
质量块m， 质量块 ，用来表示结构的质量和惯性特性 自由度只有一个：水平位移 自由度只有一个：水平位移y(t) 无重弹簧， 无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力 ， 无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散， 无重阻尼器，阻尼系数 ，表示结构的能量耗散，提供结 构的阻尼力 随时间变化的荷载F(t) 随时间变化的荷载
第一章 结构动力学概述
结构动力学是结构力学的一个分支， 结构动力学是结构力学的一个分支，着 重研究结构对于动荷载的响应（如位移、 重研究结构对于动荷载的响应（如位移、应 力等的时间历程）， ），以便确定结构的承载能 力等的时间历程），以便确定结构的承载能 力和动力学特性， 力和动力学特性，或为改善结构的性能提供 依据。 依据。
动荷载的定义
荷载在大小、 荷载在大小、方向或作用点方面随时 间变化， 间变化，使得质量运动加速度所引起 的惯性力与荷载相比大到不可忽略时， 的惯性力与荷载相比大到不可忽略时， 则把这种荷载称为动荷载。 则把这种荷载称为动荷载。
问题：你知道有哪些动荷载？ 问题：你知道有哪些动荷载？
动荷载的分类： 动荷载的分类：
25 20 Wind speed (m/s)
脉动风 平均风
t(sec)
风荷载
15 10 5 0 0 50 100 150 200 250
300
400
Acceleration (cm/s )
2
地震作用
200 0 -200
t(sec)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
结构在确定性荷载作用下的响应分析通 常称为结构振动分析 结构振动分析。 常称为结构振动分析。 结构在随机荷载作用下的响应分析， 结构在随机荷载作用下的响应分析， 被称为结构的随机振动分析。 被称为结构的随机振动分析。 随机振动分析 本课程主要学习确定性荷载作用下的 本课程主要学习确定性荷载作用下的结 确定性荷载作用下 构振动分析。 构振动分析。
动荷载的特性 结构的动力特性 结构响应分析
结构动力体系
位移
静荷载
大小 方向 作用点
结构体系
输入 input
刚度、 刚度、约束 杆件尺寸 截面特性
静力响应
输出 Output
内力 应力
数值
动荷载
大小 方向 作用点 时间变化
结构体系
输入 input
质量、 质量、刚度 阻尼、 阻尼、约束 频率、 频率、振型
大型桥梁结构 的有限元模型
§1-5 运动方程的建立
定义
在结构动力分析中， 在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学 方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程 运动方程。 方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。 运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移 随时间变化的规律。 随时间变化的规律。 建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。 建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。 常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。 常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。
建立体系运动方程的方法
直接平衡法，又称动静法， 直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 动静法 的静力学问题：根据达朗贝尔原理， 惯性力作为附加的 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 阻尼力、 和作用在结构上的外荷载 虚拟力，并考虑阻尼力 弹性力和作用在结构上的外荷载， 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 使体系处于动力平衡条件， 思路，直接写出运动方程。 思路，直接写出运动方程。 虚功法: 根据虚功原理，即作用在体系上的全部力在虚位移 虚功法 根据虚功原理， 上所做的虚功总和为零的条件 的条件， 上所做的虚功总和为零的条件，导出以广义坐标表示的运 动方程。 动方程。 变分法: 通过对表示能量关系的泛函的变分建立方程。 变分法 通过对表示能量关系的泛函的变分建立方程。根据 理论力学中的哈密顿原理或其等价形式的拉格朗日方程导 出以广义坐标表示的运动方程。 出以广义坐标表示的运动方程。
m
m1
m2
mk
mN
− m1ɺɺ1 x x − m2ɺɺ2 − mk ɺɺk x
x − mN ɺɺN
2. 广义坐标法
假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线可用一系列 规定的位移曲线的和来表示： 规定的位移曲线的和来表示：
适用于质量分布比较均 匀，形状规则且边界条 件易于处理的结构。 件易于处理的结构。 例如： 例如：右图简支梁的变 形可以用三角函数的线 性组合来表示。 性组合来表示。
§1-3 动力问题的基本特性
与结构静力学相比，动力学的复杂性表现在： 与结构静力学相比，动力学的复杂性表现在： • 动力问题具有随时间而变化的性质； 动力问题具有随时间而变化的性质； • • • • 数学解答不是单一的数值，而是时间的函数； 数学解答不是单一的数值，而是时间的函数； 惯性力是结构内部弹性力所平衡的全部荷载的一个重要部 分！ 引入惯性力后涉及到二阶微分方程的求解； 引入惯性力后涉及到二阶微分方程的求解； 需考虑结构本身的动力特性：刚度分布、质量分布、 需考虑结构本身的动力特性：刚度分布、质量分布、阻尼 特性分布的影响； 特性分布的影响；
对分布质量的实际结构， 对分布质量的实际结构，体系的自由度数为单元节点可发生的 独立位移未知量的总个数。 独立位移未知量的总个数。 综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点， 综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点，是最灵活有效的 离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型， 离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适 合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法。 合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法。 已有不少专用的或通用的程序（ 已有不少专用的或通用的程序（如SAP，ANSYS等）供结构分 ， 等 析之用。包括静力、 和稳定分析。 析之用。包括静力、动力 和稳定分析。
y (t) c F (t) m k
y (t)
FD
FS
FI
F (t )
平衡方程： 平衡方程：
FI + FD + FS = F (t )
试用刚度法建立图示刚架的运动方程
y (t )
FP (t)
m
EI 1 =
l 2 EI
EI l 1
FP (t )
FI FS 2 FS 1 FD
[ 解]
1） 确定自由度数 横梁刚性，柱子无轴向变形。 1个自由度。 ） 确定自由度数: 横梁刚性，柱子无轴向变形。 个自由度 个自由度。 2） 确定自由度的位移参数。 y (t ) ） 确定自由度的位移参数。 3） 质量受力分析：取刚梁为隔离体，确定所受的所有外力！ ） 质量受力分析：取刚梁为隔离体，确定所受的所有外力！ 4） 列动平衡方程： ） 列动平衡方程：
动力响应
输出 Output
动位移 加速度 速度 动应力 动力系数 随时间变化
时间函数
§1-2 动荷载的定义和分类
荷载： 荷载： 作用在结构上的主动力 荷载三要素： 大小、 荷载三要素： 大小、方向和作用点 荷载分类： 荷载分类：
作用时间： 作用时间： 恒载 活载 作用位置： 作用位置： 固定荷载 移动荷载 对结构产生的动力效应： 对结构产生的动力效应： 静荷载 动荷载
单自由度体系运动方程的建立（直接平衡法） 单自由度体系运动方程的建立（直接平衡法）
y (t) c
建立计算模型
k
F (t) m
y (t)
取质点为隔离 体画平衡力系
FD
FS
FI
F (t )
建立平衡方程
FI + FD + FS = F (t )
直接平衡法
直接平衡法，又称动静法， 直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任 动静法 一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理， 一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性 力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、 力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作 用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件， 用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件， 按照静力学中建立平衡方程的思路， 按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动 方程。 方程。 根据所用平衡方程的不同，直接平衡法又分为刚度 根据所用平衡方程的不同，直接平衡法又分为刚度 柔度法。 法和柔度法。-4 离散化方法