大型桥梁结构 的有限元模型
§1-5 运动方程的建立
定义
在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学 方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。
▪ 运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移 随时间变化的规律。
▪ 建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。 ▪ 常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。
FP
t
例如： 简谐荷载
FP 冲击荷载
t
FP 突加荷载
t
非确定性荷载：荷载随时间的变化是不确定的或不确知的， 又称为随机荷载。
例如：
风荷载
25 Wind speed (m/s) 20 15 10
5
0
0
50
100
脉动风
平均风
150
200
t(sec)
250
300
Acceleration (cm/s 2)
Output
刚度、约束 杆件尺寸 截面特性
动荷载
大小 方向 作用点 时间变化
结构体系
动力响应
输入
输出
input
Output
质量、刚度 阻尼、约束 频率、振型
位移
内力
数值
应力
动位移 加速度 速度 动应力 动力系数 随时间变化
时间函数
§1-2 动荷载的定义和分类
荷载： 作用在结构上的主动力 荷载三要素： 大小、方向和作用点 荷载分类：
动荷载的定义
荷载在大小、方向或作用点方面随时 间变化，使得质量运动加速度所引起 的惯性力与荷载相比大到不可忽略时， 则把这种荷载称为动荷载。
问题：你知道有哪些动荷载？
动荷载的分类：
概念：动荷载是时间的函数！
分类： 动荷载
确定性荷载 非确定性荷载
周期性荷载 非周期性荷载
确定性荷载：荷载的变化是时间的确定性函数。
把结构的分布质量按一定的规则集中到结构的某个或某些 位置上，成为一系列离散的质点或质量块 。
▪ 适用于大部分质量
m1
集中在若干离散点
上的结构。
m2
▪ 例如：房屋结构一
般简化为层间剪切
m3
模型。
▪ 例如：
m
m1
m2
m1x1
m2x2
mk
mN
mkxk
mN xN
2. 广义坐标法
假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线可用一系列 规定的位移曲线的和来表示：
▪ 适用于质量分布比较均 匀，形状规则且边界条 件易于处理的结构。
▪ 例如：右图简支梁的变 形可以用三角函数的线 性组合来表示。
(
x)
n1
bn
sin
nπ l
x
( x)
πx b1 sin l
2π x b2 sin l
3π x b3 sin l
定义
假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线为 y(x,t)，可用
3. 有限单元法
—— 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。
要点：
▪ 先把结构划分成适当（任意）数量的单元；
▪ 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作 为广义坐标；
▪ 对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）；
▪ 由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标 表示无限自由度的结构体系。
400
地震作用 200
0
-200
t(sec)
0
5
10
15
20
25
定性荷载作用下的响应分析通 常称为结构振动分析。
结构在随机荷载作用下的响应分析， 被称为结构的随机振动分析。
本课程主要学习确定性荷载作用下的结 构振动分析。
§1-3 动力问题的基本特性
与结构静力学相比，动力学的复杂性表现在：
一系列位移函数 k ( x)的线性组合来表示：
n
y( x,t) Ak (t)k ( x) k1
则组合系数Ak(t)称为体系的广义坐标。
(x)
bn
n1
sin
nπ l
x
广义坐标
位移函数
▪ 广义坐标表示相应位移函数的幅值，是随时间变化的函数。 ▪ 广义坐标确定后，可由给定的位移函数确定结构振动的位移曲线。 ▪ 以广义坐标作为自由度，将无限自由度体系转化为有限个自由度。 ▪ 所采用的广义坐标数代表了所考虑的自由度数。
• 动力问题具有随时间而变化的性质；
t
• 数学解答不是单一的数值，而是时间的函数；
• 惯性力是结构内部弹性力所平衡的全部荷载的一个重要部 分！
• 引入惯性力后涉及到二阶微分方程的求解；
• 需考虑结构本身的动力特性：刚度分布、质量分布、阻尼 特性分布的影响；
P
P (t)
§1-4 离散化方法
1. 集中质量法
第一章 结构动力学概述
结构动力学是结构力学的一个分支，着 重研究结构对于动荷载的响应（如位移、应 力等的时间历程），以便确定结构的承载能 力和动力学特性，或为改善结构的性能提供 依据。
➢动荷载的特性
➢结构的动力特性
➢结构响应分析
结构动力体系
静荷载
大小 方向 作用点
结构体系
静力响应
输入
输出
input
作用时间： 恒载 活载 作用位置： 固定荷载 移动荷载 对结构产生的动力效应： 静荷载 动荷载
静荷载： 动荷载：
大小、方向和作用点不随时间变 化或变化很缓慢的荷载。
大小、方向或作用点随时间变化 很快的荷载。
快慢标准： 是否会使结构产生显著的加速度
显著标准： 质量运动加速度所引起的惯性力 与荷载相比是否可以忽略
▪ 对分布质量的实际结构，体系的自由度数为单元节点可发生的 独立位移未知量的总个数。
▪ 综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点，是最灵活有效的 离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适 合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法。
▪ 已有不少专用的或通用的程序（如SAP，ANSYS等）供结构分 析之用。包括静力、动力 和稳定分析。
▪ 变分法: 通过对表示能量关系的泛函的变分建立方程。根据 理论力学中的哈密顿原理或其等价形式的拉格朗日方程导 出以广义坐标表示的运动方程。
第二章 运动方程的建立
单自由度
c
体系模型
k
y (t )
F(t) m
▪ 质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性
▪ 自由度只有一个：水平位移y(t) ▪ 无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力 ▪ 无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结
建立体系运动方程的方法
▪ 直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 思路，直接写出运动方程。
▪ 虚功法: 根据虚功原理，即作用在体系上的全部力在虚位移 上所做的虚功总和为零的条件，导出以广义坐标表示的运 动方程。