由此得到体系的运动方程：
my
cy
12E l13
I
12EI
l
3 2
y
FP (t)
比较：
c k
y (t )
F(t) m
FP (t) l 2 EI
m
EI1
y(t )
EI l 1
my cy ky F(t) （2-3）
my
cy
12E l13
I
12EI
l
3 2
y
FP
(t)
令：
k
FS1
FS 2
12EI l13
结构系统的动力计算和静力计算一样，也需要选择计算简图。因为要 考虑质量的惯性力，所以必须明确结构的质量分布情况，并分析结构 可能产生的位移。
动力自由度：在结构系统运动的任一时刻，确定其全部质 量位置所需的独立几何参变量的个数，称之为系统的动力 自由度（dynamic freedom）
实际结构的质量都是连续分布的，因此，他们都是无限自由度系统。 简化为有限自由度系统计算。
作用时间： 恒载 活载 作用位置： 固定荷载 移动荷载 对结构产生的动力效应： 静荷载 动荷载
静荷载： 动荷载：
大小、方向和作用点不随时间变 化或变化很缓慢的荷载。
大小、方向或作用点随时间变化 很快的荷载。
快慢标准： 是否会使结构产生显著的加速度
显著标准： 质量运动加速度所引起的惯性力 与荷载相比是否可以忽略
▪ 变分法: 通过对表示能量关系的泛函的变分建立方程。根据 理论力学中的哈密顿原理或其等价形式的拉格朗日方程导 出以广义坐标表示的运动方程。
运动方程的建立
单自由度
c
体系模型
m
k
y (t ) F(t)
▪ 质量块m，用来y(t) ▪ 无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力 ▪ 无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结
FP
t
例如： 简谐荷载
FP 冲击荷载
t
FP 突加荷载
t
非确定性荷载：荷载随时间的变化是不确定的或不确知的， 又称为随机荷载。
例如：
风荷载
25 Wind speed (m/s) 20 15 10
5
0
0
50
100
脉动风
平均风
150
200
t(sec)
250
300
Acceleration (cm/s 2)
Output
刚度、约束 杆件尺寸 截面特性
动荷载
大小 方向 作用点 时间变化
结构体系
动力响应
输入
输出
input
Output
质量、刚度 阻尼、约束 频率、振型
位移
内力
数值
应力
动位移 加速度 速度 动应力 动力系数 随时间变化
时间函数
§1-2 动荷载的定义和分类
荷载： 作用在结构上的主动力 荷载三要素： 大小、方向和作用点 荷载分类：
工程振动问题分类
第二类，已知激励和响应，求系统 可以称这类问题为系统识别。这里所谓求系统，主要是指 获得对于系统的物理参数(如质量、刚度及阻尼系数等)和系 统关于振动的固有特性(如固有频率、主振型等)的认识。实 际上处理这类问题时，待求的。系统实物是现实存在着的， 由于种种原因，难以用分析的方法完善地建立力学模型和掌 握它的振动固有特性。 这时就把实际存在的系统仍然作为未被认识的“黑箱”或 未被完全认识的“灰箱。，通过对它进行振动试验，记录输 入输出数据并作数据处理，反过来求出系统的有关参数和特 性。系统识别以估计物理参数为任务的叫做物理参数识别， 以估计系统振动固有特性为任务的叫做横态参数识别或试验 横态分析。系统识别是振动的第一种逆问题，振动力学是它 的基础理论和依据。
▪ 对分布质量的实际结构，体系的自由度数为单元节点可发生的 独立位移未知量的总个数。
▪ 综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点，是最灵活有效的 离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适 合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法。
▪ 已有不少专用的或通用的程序（如SAP，ANSYS等）供结构分 析之用。包括静力、动力 和稳定分析。
• 动力问题具有随时间而变化的性质；
t
• 数学解答不是单一的数值，而是时间的函数；
• 惯性力是结构内部弹性力所平衡的全部荷载的一个重要部 分！
• 引入惯性力后涉及到二阶微分方程的求解；
• 需考虑结构本身的动力特性：刚度分布、质量分布、阻尼 特性分布的影响；
P
P (t)
§1-4 离散化方法
动力自由度：
3. 有限单元法
—— 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。
要点：
▪ 先把结构划分成适当（任意）数量的单元；
▪ 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作 为广义坐标；
▪ 对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）；
▪ 由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标 表示无限自由度的结构体系。
构的阻尼力 ▪ 随时间变化的荷载F(t)
单自由度体系运动方程的建立（直接平衡法）
c
建立计算模型
k
取质点为隔离 体画平衡力系 FD
FS
y (t )
F(t) m
y (t )
FI
F (t )
建立平衡方程 FI FD FS F (t )
直接平衡法
直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任 一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性 力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作 用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件， 按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动 方程。
建立体系运动方程的方法
▪ 直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 思路，直接写出运动方程。
▪ 虚功法: 根据虚功原理，即作用在体系上的全部力在虚位移 上所做的虚功总和为零的条件，导出以广义坐标表示的运 动方程。
2. 广义坐标法
假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线可用一系列 规定的位移曲线的和来表示：
▪ 适用于质量分布比较均 匀，形状规则且边界条 件易于处理的结构。
▪ 例如：右图简支梁的变 形可以用三角函数的线 性组合来表示。
(
x)
n1
bn
sin
nπ l
x
( x)
πx b1 sin l
2π x b2 sin l
由此得到体系的运动方程：
my cy ky F(t)
（2-3）
刚度法: 取每一运动质量为隔离体，通过分析所受 的全部外力，建立质量各自由度的瞬时力平衡方 程，得到体系的运动方程。
y (t ) c
F(t) m
k
y (t )
FD
FI
F (t )
FS
平衡方程： FI FD FS F (t )
试用刚度法建立图示刚架的运动方程
§1-4 离散化方法
1. 集中质量法
把结构的分布质量按一定的规则集中到结构的某个或某些 位置上，成为一系列离散的质点或质量块 。
▪ 适用于大部分质量
m1
集中在若干离散点
上的结构。
m2
▪ 例如：房屋结构一
般简化为层间剪切
m3
模型。
▪ 例如：
m
m1
m2
m1x1
m2x2
mk
mN
mkxk
mN xN
结构动力学基础
参考教材：
张亚辉、林家浩编著，结构动力学基础 大连理工出版社 龙驭球等编著，结构力学п—基本教程，第2版，高教出版 社 杨茀康编著，结构动力学，人民交通出版社 徐赵东等编著，结构动力学，科学出版社 R.克拉夫等编著，结构动力学第二版（修订），高教出版社
结构动力学基础
第一章 绪论 第二章 动力学基础及运动方程建立 第三章 单自由度体系 第四章 多自由度体系 第五章 无限自由度体系 第六章 自振频率和振型的实用计算 第七章 结构抗震计算及专题篇
结构动力学基础
中国矿业大学本科生教材
工程振动问题分类
工程中称振动问题研究的对象为系统，它可以是 一个零部件、一台机器或者一个完整的工程结构等 等；称外界激振力等因素为激励或输入；称作用于 系统
后使之产生的振动为响应或输出。 根据以上概念，振动力学研究的工程振动可以分 为三类：
工程振动问题分类
第一类，已知激励和系统，求响应 可以称这类问题为系统动力响应分析。这是工程中最基本 和最常见的问题，其主要任务在于验算结构，产品等在工作 时的动力响应(如变形、位移、应力等)是否满足预定的安全 要求和其它要求。在产品设计阶段，对具体设计方案进行动 力响应验算，若不合要求再作修改，直到达到要求而最终确 定设计方案，这一过程就是所谓振动设计。就上述框图的流 向面言，动力响应问题属于由因求果的正问题，这也是振动 力学最主要的内容。
工程振动问题分类
第三类，已知系统和响应，求激励 可以称这类问题为环境预测。例如为了避免产品在公路运 输中损坏，需要通过实地行车记录汽车振动或产品振动，以 估计运输过程是怎样一种振动环境，运输过程对于产品是怎 样一种激励，这样才能有根据地为产品设计叮靠而有效的减 震包装。由于这类物理环境大都是因时因地而异的，各次试 验结果在表观上辑不相同，所以环境预测问题除了以振动力 学为理论基础之外，一般还要利用随机过程和数理统计方面 的知识。环境预测是振动的第二种逆问题。 比较复杂的工程振动问题可能同时包含着正、逆两种性质 的问题。由于近几十年内高速数字计算机的出现和计算软件 、现代振动测试方法的迅速发展，才使得复杂振动问题的理 论分析及实验研究成为可能。