因式分解的四种方法（讲义）
➢ 课前预习
1. 平方差公式：___________________________；
完全平方公式：_________________________；
_________________________．
2. 对下列各数分解因数：
210=_________； 315=__________；
91=__________； 102=__________．
3. 探索新知：
（1）39999-能被100整除吗？
小明是这样做的：
32299999999991
99(991)
99(991)(991)999800
9998100
-=⨯-⨯=⨯-=⨯+-=⨯=⨯⨯
所以39999-能被100整除．
（2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？
（3）3m m -能被哪些整式整除？
➢ 知识点睛
1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分
解．
2. 因式分解的四种方法
（1）提公因式法
需要注意三点：
①公因式要提尽；
②首项为负时要提出负号；
③提公因式后项数不变．
（2）公式法
两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．
运用公式法时需要注意两点：
①能提公因式先提公因式；
②找准公式中的a 和b ．
（3）分组分解法
多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找____________，然后再考虑____________或者_____________．
（4）十字相乘法
十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：
2()()()x p q x pq x p x q +++=++
3. 因式分解是有顺序的，记住口诀：“___________________”；因式分解是
有范围的，目前我们是在______范围内因式分解．
➢ 精讲精练
1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________．
①222233x y x y -=-⋅⋅； ②2(3)(3)9a a a +-=-；
③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2221x x x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭； ⑥24(2)(2)m m m -=+-；
⑦2244(2)y y y -+=-．
2. 因式分解（提公因式法）：
（1）2212246a b ab ab -+；
（2）32a a a --+； 解：原式=
解：原式=
（3）()(1)()(1)a b m b a n -+---；
解：原式=
（4）22()()x x y y y x ---；
（5）1m m x x -+． 解：原式=
解：原式=
3. 因式分解（公式法）：
（1）249x -；
（2）216249x x ++； 解：原式=
解：原式=
（3）2244x xy y -+-；
（4）229()()m n m n +--； 解：原式=
解：原式=
（5）22(3)2(3)(43)(43)x y x y x y x y +-+-+-；
解：原式=
（6）2(25)4(52)x x x -+-；
解：原式=
（7）228168ax axy ay -+-；
（8）44x y -； 解：原式=
解：原式=
（9）4221a a -+；
（10）22222()4a b a b +-． 解：原式=
解：原式=
4. 因式分解（分组分解法）：
（1）2105ax ay by bx -+-；
（2）255m m mn n --+； 解：原式=
解：原式=
（3）22144a ab b ---；
（4）22699a a b ++-； 解：原式=
解：原式=
（5）2299ax bx a b +--；
（6）22244a a b b -+-．
解：原式=
解：原式=
5. 因式分解（十字相乘法）：
（1）243x x ++；
（2）26x x +-； 解：原式=
解：原式=
（3）223x x -++；
（4）221x x +-； 解：原式=
解：原式=
（5）22512x x +-；
（6）2232x xy y +-； 解：原式=
解：原式=
（7）2221315x xy y ++；
（8）3228x x x --． 解：原式=
解：原式=
6. 用适当的方法因式分解：
（1）222816a ab b c -+-；
（2）22344xy x y y --；
解：原式=
解：原式=
（3）22(1)12(1)16a a ---+；
（4）(1)(2)12x x ++-； 解：原式=
解：原式=
（5）2(2)8a b ab -+；
解：原式=
（6）222221x xy y x y -+-++．
解：原式=
【参考答案】
➢ 课前预习
1. 22()()a b a b a b +-=-；
222222()2()2a b a ab b a b a ab b
+=++-=-+； 2. 210=7×5×3×2；315=7×5×3×3；91=13×7；102=17×3×2
3. （2）328989898989-=⨯-
289(891)
89(891)(891)899088
=⨯-=⨯+⨯-=⨯⨯
∴38989-能被90整除
3223(1)
(1)(1)
m m m m m
m m m m m -=⋅-=-=+-（）
∴3m m -能被1，m ，m +1，m -1，m (m +1)，m (m -1)，(m +1)(m -1)，m (m +1)(m -1)整除
➢ 知识点睛
1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式
2. （2）平方差公式；完全平方公式；
（3）公因式；完全平方公式；平方差公式
3. 一提二套三分四查；有理数
➢ 精讲精练
1. ④⑥⑦
2. （1）6(241)ab a b -+；
（2）2(1)a a a -+-；
（3）()()a b m n -+；
（4）3()x y -；
（5）1(1)m x x -+．
3. （1）(23)(23)x x +-；
（2）2(43)x +；
（3）2(2)x y --；
（4）4(2)(2)m n m n ++；
（5）29(2)x y -；
（6）(25)(2)(2)x x x -+-；
（7）28()a x y --；
（8）22()()()x y x y x y ++-；
（9）22(1)(1)a a +-；
（10）22()()a b a b +-．
4. （1）(5)(2)x y a b --；
（2）(5)()m m n --；
（3）(12)(12)a b a b ++--；
（4）(33)(33)a b a b +++-；
（5）()(31)(31)a b x x ++-；
（6）(2)(22)a b a b -+-．
5. （1）(1)(3)x x ++；
（2）(3)(2)x x +-；
（3）(3)(1)x x --+；
（4）(21)(1)x x -+；
（5）(4)(23)x x +-；
（6）()(32)x y x y +-；
（7）(5)(23)x y x y ++；
（8）(2)(4)x x x +-．
6. （1）(4)(4)a b c a b c -+--；
（2）2(2)y x y --；
（3）2(5)(3)a a --；
（4）(2)(5)x x -+；
（5）2(2)a b +；
（6）2(1)x y --．。