x1
x
( x1
x)
2.求应变能
Vε
l
M 2 (x)dx 2EI
x1
M
2 1
(
x)dx
0 2EI
l
M
2
2
(
x) dx
x1 2EI
3.求挠曲线方程
w(x1)
Vε F
F 0
x 1 M1 M1dx 0 EI F1
l x1
M 2 (x) EI
M 2 F1
dx F 0
x1
ql 2
x
q 2
1 0, 2 0, 3 0
（3）力与位移关系：
V 2 1
2
M
()
M
()
(
R
d
)
0
Xi
EI 0
Xi
(i 1,2,3)
其中：
M
( )
F 2
R sin
X 1 R(1 cos)
X
2
M () R(1 cos)
X1
M () 1
X2
补充方程
3
4
2
R
X1
2
1
X
2
FR 4
0
2
(M2 0 2EI
FN2 )Rd
2EA
（3）求位移
AB
V F
2
(
M
0 EI
M F
FN FN )RdEA FAB来自20(
FR2 (1 cos)2
EI
F
cos2 EA
)Rd
AB
3 FR3
EI
FR
EA
3FR3 FR
若环自身半径为r AB Er 4 / 4 Er 2
AB
3FR3 Er 4 / 4
变形能的计算
V V [ (P), (u, v, w)]
能量守恒
W (F,u, v, w) V [ (FN ,T , M , ), (u, v, w)] 其中：FN=FN (F),T=T（F）,M=M(F) 以上等式中包含外力、内力、应变和位移，任 给出三个方面的量都可以求出第四个量。
能量法---利用功能的关系求解变形体的内力 及变形的方法。
解：1. 在x1 处施加集中力F，
列弯矩方程
A
qF
B
AC段： M1(x) M q M F
ql x q x2 L x1 xF
22
L
x
C
x1 l
M1(x) L x1 x
F1
L
CB段： M (x) M q M F
ql 2
x
q 2
x2
l
l
x1
xF
F(x
x1 )
M 1 ( x) F1
l
l
l
N1
N3
F N2
2 cos
A
(2)求应变能
V
N12l1 2EA
N 22l2 2EA
N32l3 2EA
F
N1
N2
N3
A
F
（3）求约束反力
B
N1l
EA cos
N1 N 2
N2l EA
N3l
EA cos
N3 N 2
0
2
N1
cos
N2
0
2
F N2
2cos2
N2
0
N2
B
1
2
3
l
F 2 cos3 1
由于约束反力处的位移是已知的，所以卡氏 第二定理建立在该约束处的位移协调方程，从而 求解超静定问题。
[例12-6] 如图3个杆抗拉刚 1 度为EA，求各杆的轴力。
解：（1）平衡方程
取节点A分析（如图）
3
2
l
A F
Fx 0 : N1 sin N2 sin
N2
N3 N1
1
2
3
Fy 0 : N3 cos N1 cos F N2
x1
M (x2 ) a
F
a EI2 C
V
a 0
M 2 (x1) 2EI
dx1
a 0
M 2 (x2 ) 2EI
dx2
(3) A点垂直位移y
y
a 0
M (x1) EI1
M (x1 F
) dx1
a 0
M (x2 ) EI2
M (x2 F
) dx2
y
a 0
Fx12 EI1
dx1
a 0
Fa2 EI2 dx2
(1
r2 12 R
2
)
r R
0.1,
r2 12 R
2
0.0008
[例12-4] 不计轴力和剪力影响，计算图示折杆
A点垂直位移y及转角A
解：1.计算A点垂直位移y （1）列折杆弯矩方程：
B x2
a EI1 x1
F AB : M (x1) Fx1
A BC : M (x2 ) Fa （2）应变能
M (x1) F
荷，按卡氏第二定理求导后令假设的载荷为零。 （3）如果结构上作用几个相同的载荷，则应分 别给出不同的标识，按卡氏第二定理求导后令 它们取原值。
（4）应变能积分中的内力函数式不可展开，且先 求导后再代如积分号内运算。
四.用卡氏定理解超静定问题
力法：以未知力作为基本未知函数，利用有关 的定理及变形关系求解超静定问题称为力法。
Fa3 3EI1
Fa3 EI2
()
2.计算B截面转角A
（1）在A处施加力矩M0 弯矩方程
B
a
F A
AB : M (x1) Fx1 M0
x2
EI1 x1 Mo BC : M (x2 ) Fa M 0
a
（2）计算位移
M (x1) 1 M 0
M (x2 ) 1 M 0
EI2 C
A
M0 0
V M 0
T 2 (x) dx l 2GI p (x)
s FQ2 (x) dx
l 2GI p (x)
M 2 (x) dx l 2EI(x)
(4)已知位移函数求应变能
V
1 2
EI (x)( 1 )2 dx 1
l
2
EI (x)(v)2 dx
l
[例12-1]如图杆系受F作用，求应变能。
解： (1) ~ l关系
M0 0
[
a 0
M (x1) EI1
M (x1) M 0
dx1
a 0
M (x2 ) EI2
M (x2 ) M 0
dx2 ]M0 0
B
a 0
Fx1 EI 2
(1)dx1
a 0
Fa EI 2
(1)dx2
A
Fa2 2EI1
Fa2 EI2
（“-”表示A与M0转向相反）
[例12-5]求图示梁的挠曲线方程。
二.余能定理（恩格赛尔定理）
Vc
F
dF
F F 0
若有Fi作用（i=1,2,3…) 对应的位移为 1, 2 , 3...
Vc Vc (F1, F2...)
Vc
Fi Fi
Fi 0
i dF
i
三.卡氏第二定理
（1）卡氏第二定理
对于线弹性问题 Vc V
Vc Fi
V Fi
i
----卡氏第二定理
内力虚功与外力虚功
作用在所有微段上的可能内力 在虚变形上作之总虚功－内力虚功
Wi l (FNd *Td *Md *)
Wi l (FNd * Td * M yd y * Mzdz*) 外力在可能位移上所作之总虚功－外力虚功
We
l
q(
x)w
(
x)
d
x
Me
e
Fpl
未计剪切
变形体虚功原理
第十二章 能量法
安徽建筑工业学院
第十二章 能量法 §12-1 概 述
一.能量法的适用条件
在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形 而在体内积蓄的能量，称为弹性变形能，简称 变形能。物体在外力作用下发生变形，物体的 变形能在数值上等于外力在加载过程中在相应 位移上所做的功 W V
二.能量法的概念
外力功的计算 W W (F,u,v, w)
l F N( x)d T ( x)d M y( x)dy M z ( x)dz
l F N( x)d T ( x)d M y( x)dy M z ( x)dz
实际变形 由载荷状态下的实际内力 确定
关于位移与单位载荷
－广义位移，施加相应单位广义载荷
－线位移，加单位力 －角位移，加单位力偶 －相对线位移，加一对相等相反单位力 －相对角位移，加一对相等相反单位力偶
2
1
R
X1
2
X2
FR 2
0
（4）求解补充方程：
X1
4 2 8
F
X
2
2( 3) 2 8
FR
§12-4 虚位移原理与单位力法
一、虚位移原理 1. 虚位移
假象在约束所允许的条件下，可能实现的任 何无限小的位移。
2. 虚功 作用力在虚位移上所作的功称为虚功
W F r
3. 虚位移原理 虚位移原理：作用在刚体的所有外力在该位置的 任一虚位移上所做虚功的和等于零。
线弹性受扭轴： T (x)T (x) dx l GIp
T ( x)T ( x) dx
l GIt
处于平面弯曲的线弹性梁与刚架： M ( x)M ( x) dx l EI
x)]dx F
x)]dx
0
w(x) qx (l 2 2lx2 x3)