F1
F2
Fi
Δ1
Δ2
Δi
此时 Vc= Vc( F1, F2, …, Fi , … ) 如果只有 Fi 有一个增量dFi ,
余功增量为 dWc= Δi dFi
余能增量为
dVc
Vc Fi
d Fi
dVc = dWc
Crotti-Engesser定Δi理（VF卡ci 氏第一定理）
弹性体的余能对某个载荷的一阶导数，等于
（想一想:如果与加载顺序有关将会出 现什么结果？）
§11.2 杆件的应变能
一、外力功的计算 F —— 广义力（力，力偶）
Δ —— 广义位移（线位移，角位移）
1. 常力做功
W = FΔ
2. 静载荷做功
（1）一般弹性体
Δ
W F d
0
F-Δ 图下方面积
（2）线弹性体
W 1 FΔ 2
F F
F
O
d Δ
一、余功、余能
F
定义
F
余功Wc
Wc dF
余能Vc
W
F
Vc Wc dF
δ
Δ
Δ
0
显然 Wc= Wc( F ) Vc= Vc( F )
二、Crotti-Engesser定理
设弹性体（不一定是线性的）上
作用力
F1, F2, …, Fi , …,
对应点位移 Δ1, Δ2, …, Δi , …
无刚性位移。
梁的弯矩方程为 M =－Fx （0≤x＜l）
wA
V F
Hale Waihona Puke l M M dx0 EI F
1 EI
l
Fx xd x
0
Fl 3
3EI
例题
2.求梁中点(非加力点)B 的挠度
F
F1
A
B
xx
在B处施加与所求挠度方向
Δ
F F
O
Δ
Δ
克拉贝隆原理 Clapeyron
线弹性体上，作用力 F1 , F2 ,…, Fi ,…, Fn
对应位移 Δ1 ,Δ2 , …,Δi , …, Δn
外力功为
W
1 2 F1 Δ1
1 2 F2 Δ2
1 2 Fi Δi
1 2
Fn Δn
n 1
V W i1 2 Fi Δi
线弹性体的外力功或 应变能等于每一外力与其 对应位移乘积之半的总和。
x
l
B 求： 用功能原理计算A点挠度 解：1. 建立坐标系 2. 求弯矩方程
M =－F x
（0≤x＜ l ）
3. 求外力功W 和应变能 Vε
1 W 2 FwA
4.求wA
l M 2 d x l Fx2
F 2l3
V
0
2EI
0
2EI
dx 6EI
Vε = W
wA
2V F
Fl 3
3EI
§11.3 卡氏定理
25
材力11-1
内容
要求 练习 作业
Chap.11 能量法 11.1 概念 11.2 应变能 11.3 卡氏定理 11.4 虚功原理 掌握杆件应变能计算，功能原理，
会卡氏定理，懂虚功原理。
功能原理1，卡氏定理1 11-3，7，9，11（b）
第十一章 能量法
§11.1 概述 一、能量法
利用能量原理解决力学问题的方法。 可用来求解变形、静不定、动荷、 稳定等问题。
4. 只适用于线弹性体。
图示力系的外力功为
1
1
1
1
W 2 F1Δ1 2 F2 Δ2 2 F3 Δ3 2 F4 Δ4
式中广义力包括集中力、集中力偶等，而 则为与广义
力相应的广义位移。
F3
Δ4
Δ3
F4
a
F2
F1
Δ2 Δ1
思考
V
W
n1 i1 2 Fi Δi
Clabeyron原理是否可以理解成 叠加原理？
d
M
M
dx
w d M
d x EI
d M d x
EI
dV
dW
1 M d
2
M 2xd x
2EI
M 2x
V W
l
2EI
dx
忽略剪力影响，如矩形截面，当l /h=10时，
剪力的影响只占弯矩的 3﹪.
（二）组合变形
据Clabeyron原理， 微段dx上
dV
dW
1 2
FN
dl
1 M d
2
1T d
不成立。
Vε
l
FN2 d x 2EA
l
M2dx 2EI
l
T2dx 2GIp
Vε是载荷的二次函数，叠加原理不成立。 组合变形应变能计算是否用了叠加原理？
当各载荷互相独立时，可以用叠加原理 当各载荷互相不独立时，不能用叠加原理 讨论 P.191 11-1，11-2题
F
已知：EI=常数
例题
A
wA
2
FN2 d x M 2 d x T 2 d x 2EA 2EI 2GIp
M T FN
dx
全杆
V
W
l
FN2 d x 2EA
l
M2dx 2EI
l
T2dx 2GIp
（三）弹性应变能的性质
V
l
FN2 d x 2EA
l
M2dx 2EI
l
T2dx 2GIp
1. Vε ＞ 0 （正定）； 2. Vε是载荷的二次函数，叠加原理
二、外力功与应变能
1. 外力功W
F
Δ
载荷在其作用点位移上所作的功。
2. 应变能Vε
弹性体因载荷引起的变形而储存的能量（J）。
三、功能原理
条件： （1）弹性体 （2）静载荷 —— 可忽略弹性体变形过程中的 能量损失
原理：外力功全部转化成弹性体的应变能.
V W
四、外力功与应变能的特点
数值与加载顺序无关，只与载荷与位 移的最终数值有关。
Δi
V Fi
FN FN d x M M d x T T d x
l EA Fi
l EI Fi
l GIp Fi
例题
F
A
B
x
l/2
C l/2
线弹性材料悬臂梁受力如
图，若F，EI(常数），l 等均
为已知，试用卡氏定理求：
1.加力点 A 处的挠度； 2.梁中点 B 处的挠度。
解：1.求 A 点挠度
该载荷作用点的相应位移。
三、卡氏定理 Castigliano Second Theorem
线弹性体
Vε = Vc
Δi
V Fi
卡氏定理
F
F
Vc
Vε
Δ
Δ
线弹性体的应变能对于某个力的一阶偏导数， 等于这个力作用点的相应位移。
对线弹性杆系结构
V
l
FN 2 d x 2EA
l
M2dx 2EI
l
T2dx 2GIp
二、线弹性体的应变能
F
（一）简单变形
1. 轴向拉压
F
F
l
△l
O
△l
⊿
l FNl EA
V
W
1 Fl 2
FN 2 l 2EA
FN为变量时
V
l
FN2 x d x
2EA
2. 扭转
Tl
GIp T 是变量时
Me
Me T
φ
φ
φ
V
W
1 2
M e
T 2l 2GIP
V
l
T 2x
dx 2GI P
3. 平面弯曲
n 1
V W i1 2 Fi Δi
注:
1. Δi 尽管是Fi 作用点的位移，但它不是Fi 一
个力引起的， 而是所有的力共同作用的结果，即
它是 i 点实际位移;
2. Δi 是Fi 作用线方向的位移. Fi Δi 为正，表 明Fi 作正功， Δi 与Fi 方向相同；为负则相反；
3. Fi为集中力， Δi 则为线位移； Fi为集中力 偶， Δi 则为角位移；