Ax 0 x 0 0 x 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 x 0 0 2 2 2 2 x3 2 x3
系统状态与平衡状态之间的范数：
x xe ( x10 k ) 2 (e t x20 ) 2 (e 2t x30 ) 2
lim x xe x10 k
t
系统的状态不收敛到平衡状态，系统是稳定，但是不是渐近 稳定。虽然系统有无穷个平衡状态，但系统为线性定常系统， 只分析原点的稳定性即可。
x0 s( )
t

lim x(t , x0 , t0 ) xe 0
初始条件扩展到整个空间，且是渐近稳定。
s( ) ,
x xe大范围渐近稳定
大范围渐近稳定的必要条件：系统只能有一
个平衡状态。
线性系统(严格)：如果它是渐近稳定的，必
是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初 始条件的大小无关)。
e
雅可比矩阵
f f1
f2 fn
T
x x1 x2 xn
x x xe
T
令
x x f ( xe )
x xe
f A T x
则线性化系统方程为：
x Ax
结论：
(1)若 Re(i ) 0 i 1,2,, n ，则非线性系统
g ( x)无关； (2)若 Re(i ) 0 Re( j ) 0 i j 1,, n 则非线性系统在 xe 是不稳定；
非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状
态空间出发的轨迹都收敛 xe 或其附近。
当 与 t 0 无关
大范围一致渐近稳定。
4. Lyapunov意义下的不稳定性 不管 ， 有多小， 只要由 s ( ) 内，由 x0 出 发的轨迹超出 s( ) 以外， 则称此平衡状态 xe 是 不稳定的。
主要内容： 李氏第一法（间接法）：求解特征方程 的特征值 李氏第二法（直接法）：利用经验和技 巧来构造李氏函数
5.1 李氏稳定性基本概念
1.自治系统：输入为零的系统
f ( x,t) , x Ax Bu, x
2.初始状态
xR

n
Ax u 0, x
x(t; x0 , t0 )
Axe 0
xe
b.非线性系统
f ( xe , t ) 0 x
xe
可能有多个
例：
1 x1 x 2 x1 x2 x x
1 0 x
0 xe1 0
3 2
令
2 0 x
0 xe2 1
平衡点
0 xe3 1
第五章 控制系统的李雅普 诺夫稳定性分析
5.1 稳定性基本概念 5.2 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.3 李雅普诺夫第一法 5.4 李雅普诺夫第二法 5.5 线性定常系统渐近稳定性判别法

研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统正常工
作的必要条件，是一个重要特征。

要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被
5.3 李雅普诺夫第一法（间接法）
利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：
Ax x
x(0) x0 t 0
（1）李氏稳定的充要条件：
Re(i ) 0
i 1,2, n
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。
（2）李氏渐近稳定的充要条件：
2 1 2 2 2 n T
1/ 2
向量x与xe的距离为
x xe [(x1 x1e ) ( x2 x2e ) ( xn xne ) ]
2 2
2 1/ 2
当x-xe的范数限定在某一范围之内时，记为
x xe
, 0
它的几何意义，在三维状态空间中以xe为球心，
等可利用。然而，如果系统是非线性的，
或是线性时变的，则上述稳定性判据就将 不再适用。

经典控制理论稳定性判别方法：代数判
据，奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹
判据

非线性系统：相平面法(适用于一，二阶
非线性系统)，描述函数法。
Lyapunov意义下的稳定性问题 本节所要介绍的Lyapunov第二法（也 称Lyapunov直接法）是确定非线性系统 和线性时变系统的最一般的方法。当然， 这种方法也可适用于线性定常系统的稳定 性分析。此外，它还可应用于线性二次型 最优控制问题。
4. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充 分小的领域内不存在别的平衡状态。 对于孤立的平衡状态，总可以经过适 当的坐标变换，把它变换到状态空间的 原点。 以后取坐标原点作为平衡点研究。
5. 范数的概念
范数的定义 n为状态空间中，向量x的长度 称为向量x的范数（或欧几里德范数），用 表示
x x x x ( x x)
结论：
（1）线性系统：任一孤立平衡状态，均可坐标 变换转移到原点，分析原点的稳定性具有代表性；
（2）非线性系统：各个平衡点的稳定性不同， 分析各个平衡状态的稳定性； （3）对于线性系统：平衡状态是渐近稳定，则 一定是大范围渐近稳定； （4）经典控制中的系统稳定指渐近稳定，而李 氏意义下的稳定包括临界稳定。
1）是李氏意义下稳定的
2） lim x(t , x0 , t0 ) xe 0
t
平衡状态是渐近稳定的。
几何意义：稳定下任意状态轨迹最终收敛于xe. 即轨迹不会超出 S ( ) ，且最终趋于平衡点。 与t0无关 平衡状态一致渐近稳定
3.Lyapunov意义下大范围内渐近稳定性 对 都有
x(t0 , x0 , t0 ) x0
3.平衡状态：
对所有的t，状态满足
e f ( xe , t ) 0 x
xe 系统的平衡状态
平衡状态xe在状态空间所确定的点，称平衡点。
a.线性定常系统
Ax x
xR
n
A非奇异： Axe 0 xe 0 A奇异：
有唯一 有无穷多个
（5）线性系统的平衡状态不稳定
表征 只
系统不稳定。
（6）非线性系统的平衡状态不稳定
说明存在局域发散的轨迹。
至于是否趋于无穷远
s( ) 域外是否存
在其它平衡状态。若存在极限环，则系统
仍是李雅普诺夫意义下的稳定性。
例：分析系统李亚普诺夫意义下的稳定性。
0 0 0 0 0 1 0 x 0 u x 0 0 2 2 x(0) x0
0
f x f ( xe ) T x
( x xe ) g ( x)
x xe
其中： g ( x) --级数展开式中二阶以上各项之和
f1 x 1 f T x f n x 1
f1 x2 f n x2
f1 xn f n xn x x
x0 x(t; x0 , t0 )
的任意初始状态
出发的运动轨迹（状态方程的解）
在所有时间内都满足：
x(t; x0 , t0 ) xe , t t0
则称系统的平衡状态 xe 是李雅普诺夫意义 下稳定的。
即：系统的运动曲线不超出 S ( ) ，则系统稳定。
与 t 0有关 时变：
1 x 2 x 例：单摆系统的状态方程为：x 2 a sin x1 bx2
0]T , xe2 [k， 0]T 系统的平衡状态 xe1 [0，
f1 f x1 A x f 2 x1
f1 0 x2 f 2 a cos x1 x2
打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平
衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。

稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状态
方程解的收敛性，而与输入作用无关。
对于一个给定的控制系统，稳定性分析通
常是最重要的。如果系统是线性定常的，
那么有许多稳定性判据，如RouthHurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据
解：系统的平衡状态为
x1e k 0 xe x 2e x3e 0
系统状态解为
e 0 t At x(t , x0 , t0 ) e x0 0 0
0 e t 0
0 x10 x10 x1 t 0 x20 e x20 x2 2t e 2t x e x3 30 x30
f1 0 x2 f 2 a cos x1 x2
1 b
０ 1 xe２ 0,2 ,4 处线性化，得 A ，系统的特征多项式 f ( ) 2 b a 0, a b 系统的特征值为 1, 2 - b b 2 4a ，当a 0, b 0时系统在xe 2处稳定; 2
f1 f x1 A x f 2 x1
1 xe1处线性化，得 A 0 ０ xe２处线性化，得 A １
f1 x2 1 x2 f 2 x2 x2
x1 1 x1
0 ，系统的特征值为 - 1， 1，系统在xe1处不稳定； - 1 - 1 ，系统的特征值为ｊ，要考虑高阶项。 ０
在 xe 处是渐近稳定的，与 (3)若 Re(i ) 0 ，稳定性与 g ( x) 有关，即非线性 系统平衡状态
xe
的稳定性与函数展开的高阶
项 g ( x) 有关。
例：系统的状态方程为： 1
x1 x1 x2 x 2 x2 x1 x2 x
系统的平衡状态 xe1 [0,0]T , xe 2 [1,1]T