对数函数及其性质 Prepared on 22 November 2020对数函数及其性质(一)教学目标(一) 教学知识点 1.对数函数的概念; 2.对数函数的图象与性质. (二) 能力训练要求 1.理解对数函数的概念; 2.掌握对数函数的图象、性质; 3.培养学生数形结合的意识. (三)德育渗透目标1.认识事物之间的普遍联系与相互转化; 2.用联系的观点看问题;3.了解对数函数在生产生活中的简单应用. 教学重点对数函数的图象、性质. 教学难点对数函数的图象与指数函数的关系. 教学过程 一、复习引入:1、指对数互化关系:b N N a a b =⇔=log2、 )10(≠>=a a a y x且的图象和性质.3、 我们研究指数函数时,曾经讨论过细胞分裂问题,某种细胞分裂时,得到的细胞的个数y 是分裂次数x 的函数,这个函数可以用指数函数y =x2表示.现在,我们来研究相反的问题,如果要求这种细胞经过多少次分裂,大约可以得到1万个,10万个……细胞,那么,分裂次数x 就是要得到的细胞个数y 的函数.根据对数的定义,这个函数可以写成对数的形式就是y x 2log =.如果用x 表示自变量,y 表示函数,这个函数就是x y 2log =. 引出新课--对数函数.二、新授内容:1.对数函数的定义:函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数,定义域为),0(+∞,值域为),(+∞-∞.例1. 求下列函数的定义域:(1)2log x y a =; (2))4(log x y a -=; (3))9(log 2x y a -=.分析:此题主要利用对数函数x y a log =的定义域(0,+∞)求解.解:(1)由2x >0得0≠x ,∴函数2log x y a =的定义域是{}0|≠x x ;(2)由04>-x 得4<x ,∴函数)4(log x y a -=的定义域是{}4|<x x ; (3)由9-02>-x 得-33<<x ,∴函数)9(log 2x y a -=的定义域是{}33|<<-x x .2.对数函数的图象:通过列表、描点、连线作x y 2log =与x y 21log =的图象:思考:x y 2log =与x y 21log =的图象有什么关系3. 练习:教材第73页练习第1题.1.画出函数y =3log x 及y =x 31log 的图象,并且说明这两个函数的相同性质和不同性质.解:相同性质:两图象都位于y 轴右方,都经过点(1,0), 这说明两函数的定义域都是(0,+∞),且当x =1,y =0. 不同性质:y =3log x 的图象是上升的曲线,y =x 31log 的图象是下降的曲线,这说明前者在(0,+∞)上是增函数, 后者在(0,+∞)上是减函数. 4.对数函数的性质由对数函数的图象,观察得出对数函数的性质.a >10<a <1图 象1111性 质定义域:(0,+∞) 值域:R过点(1,0),即当x =1时,y =0 )1,0(∈x 时 0<y ),1(+∞∈x 时 0>y)1,0(∈x 时 0>y),1(+∞∈x 时0<y在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数1111三、讲解范例:例2.比较下列各组数中两个值的大小:⑴5.8log ,4.3log 22; ⑵7.2log ,8.1log 3.03.0; ⑶)1,0(9.5log ,1.5log ≠>a a a a . 解:⑴考查对数函数x y 2log =,因为它的底数2>1,所以它在(0,+∞)上是增函数,于是5.8log 4.3log 22<.⑵考查对数函数x y 3.0log =,因为它的底数0<<1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是7.2log 8.1log 3.03.0>.小结1:两个同底数的对数比较大小的一般步骤:①确定所要考查的对数函数; ②根据对数底数判断对数函数增减性; ③比较真数大小,然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小. ⑶当1>a 时,x y a log =在(0,+∞)上是增函数,于是9.5log 1.5log a a <; 当10<<a 时,x y a log =在(0,+∞)上是减函数,于是9.5log 1.5log a a >. 小结2:分类讨论的思想.对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明,因此需要对底数a 进行讨论,体现了分类讨论的思想,要求学生逐步掌握.四、练习1。
(P73、2)求下列函数的定义域:(1)y =3log (1-x ) (2)y =x 2log 1 (3)y =x311log 7-x y 3log )4(= (5)416(log 2x y -= (6))3(log 1x y x -=-解:(1)由1-x >0得x <1 ∴所求函数定义域为{x |x <1};(2)由2log x ≠0,得x ≠1,又x >0 ∴所求函数定义域为{x |x >0且x ≠1};(3)由31,0310311>⎪⎩⎪⎨⎧≠->-x x x 得 ∴所求函数定义域为{x |x <31};(4)由⎩⎨⎧≥>⎩⎨⎧≥>10,0log 03x x x x 得 ∴x ≥1 ∴所求函数定义域为{x |x ≥1}.练习2、 函数)1,0(2)1(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点( )3、已知函数)1,0()1(log ≠>+=a a x y a 的定义域与值域都是[0,1], 求a 的值。
(因时间而定,选讲)五、课堂小结⑴对数函数定义、图象、性质;⑵对数的定义, 指数式与对数式互换; ⑶比较两个数的大小.六、课后作业:1.阅读教材第70~72页;2. 《习案》P191~192面。
对数函数及其性质(二)教学目标 1.教学知识点1.对数函数的单调性;2.同底数对数比较大小;3.不同底数对数比较大小;4.对数形式的复合函数的定义域、值域; 5.对数形式的复合函数的单调性.2.能力训练要求4.掌握对数函数的单调性;2.掌握同底数对数比较大小的方法;3.掌握不同底数对数比较大小的方法;4.掌握对数形式的复合函数的定义域、值域;5.掌握对数形式的复合函数的单调性; 6.培养学生的数学应用意识. 3.德育渗透目标1.用联系的观点分析问题、解决问题; 2.认识事物之间的相互转化. 教学重点1.利用对数函数单调性比较同底数对数的大小; 2.求对数形式的复合函数的定义域、值域的方法; 3.求对数形式的复合函数的单调性的方法. 教学难点1.不同底数的对数比较大小;2.对数形式的复合函数的单调性的讨论. 教学过程 一、 复习引入:1.对数函数的定义:函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数,对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞,值域为),(+∞-∞.2、对数函数的性质:3.书P73面练习35.函数y =x +a 与x y a log =的图象可能是__________ ③二、新授内容:例1.比较下列各组中两个值的大小:⑴6log ,7log 76; ⑵8.0log ,log 23π. (3)6log ,7.0,67.067.0解:⑴16log 7log 66=> ,17log 6log 77=<,6log 7log 76>∴.⑵01log log 33=>π ,01log 8.0log 22=<,8.0log log 23>∴π. 小结1:引入中间变量比较大小:例1仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小,当不能直接比较时,经常在两个对数中间插入1或0等,间接比较两个对数的大小. 练习: 1.比较大小(备用题)⑴3.0log 7.0log 4.03.0<; ⑵216.04.3318.0log7.0log -⎪⎭⎫⎝⎛<<; ⑶1.0log 1.0log 2.03.0> . 例2.已知x =49时,不等式 log a (x 2 – x – 2)>log a (–x 2 +2x + 3)成立,求使此不等式成立的x 的取值范围.解:∵x =49使原不等式成立. ∴log a [249)49(2--]>log a )3492)49(1[2+⋅+⋅即log a1613>log a 1639. 而1613<1639. 所以y = log a x 为减函数,故0<a <1. ∴原不等式可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-<-->++->--322032022222x x x x x x x x , 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)25,2( 例3.若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间[a ,2a]上的最大值是最小值的3倍,求a 的值。
(42=a ) 例4.求证:函数f (x ) =xx-1log 2在(0, 1)上是增函数. 解:设0<x 1<x 2<1, 则f (x 2) – f (x 1) = 212221log log 11x x x x ---21221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 21122x x x x --⋅∵0<x 1<x 2<1,∴12x x >1,2111x x -->1. 则2112211log x x x x --⋅>0,∴f (x 2)>f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数 例5.已知f (x ) = log a (a – a x ) (a >1).(1)求f (x )的定义域和值域; (2)判证并证明f (x )的单调性. 解:(1)由a >1,a – a x >0,而a >a x ,则x <1. 故f (x )的定义域为(1, +∞),而a x <a ,可知0<a – a x <a , 又a >1. 则log a (a – a x )<lg a a = 1. 取f (x )<1,故函数f (x )的值域为(–∞, 1).(2)设x 1>x 2>1,又a >1, ∴1x a >2x a ,∴1x a a -<a <2x a ,∴log a (a –1x a )<log a (a –2x a ),即f (x 1)< f (x 2),故f (x )在(1, +∞)上为减函数.例6.书P72面例9。