第一章 信号的分类与基本特性【内容摘要】 本章主要介绍信号的基本概念、信号的分类、连续时间的基本信号、连续时间奇异信号、及特性、离散时间信号及特点和信号的基本运算。

1．1 信号的基本概念与分类1．1．1 信号的基本概念在日常生活和社会活动中，人们会经常谈到信号，比如，交通路口的红绿灯信号，唱歌和说话的声音信号，无线电发射台的电磁波信号等等。

因此，从物理概念上，信号是标志着某种随时间变化的信息。

从数学上，信号表示一个或多个自变量的函数。

在信号与系统中，我们尤其关心的是电信号。

1．1．2 信号的分类根据信号的性质可分为：确定信号与随机信号、连续时间信号与离散时间信号、周期信号和非周期信号、能量信号和功率信号。

一、确定信号与随机信号对应于某一确定时刻，就有某一确定数值与其对应的信号，称为确定信号。

如图1-1（a ）为一个线性斜波信号，在1t 时刻,对应的数值为1y ,在2t 时刻，对应的数值为2y 。

确定信号往往可以用函数解析式、图表和波形来表示。

如果一个信号事先无法预测它的变化趋势，也无法预先知道其变化规律，则该信号称为随机信号，如图1-1（b ）所示。

在实际工作中，系统总会受到各种干扰信号的影响，这些干扰信号不仅在不同时刻的信号值是互不相关的，而且在任一时刻信号的幅值和相位都是在不断变化的。

因此，从严格意义上讲，绝大多数信号都是随机信号。

只不过我们在研究信号与系统时，常常忽略一些次要的干扰信号，主要研究占统治地位的信号的性质和变化趋势。

本教材主要研究确定信号。

y )(a 12y)(b图 1-1二、连续时间信号与离散时间信号对任意一个信号，如果在定义域内，除有限个间断点外均有定义，则称此信号为连续时间信号。

连续时间信号的自变量是连续可变的，而函数值在值域内可以是连续的，也可以是跳变的。

如图1-1（a ）中所示的斜坡信号，即是一个连续时间信号。

对任意一个信号，如果自变量仅在离散时间点上有定义，称为离散时间信号。

离散时间信号相邻离散时间点的间隔可以是相等的，也可以是不相等的，在这些离散时间点之外，信号无定义。

如下例函数表示的信号为一个离散时间信号。

其波形图如图1-2所示⎩⎨⎧--===,2,113,2,1)(n n n n y定义在等间隔离散时间点上的离散时间信号，称为序列，序列可以表示成函数形式，也可以直接列出序列值或写成序列值的集合。

在工程应用中，常常将幅值连续可变的信号称为模拟信号，将幅值连续的信号，在固定时间点上取值得到的信号称为取样信号。

将幅值只能取某些固定的值，而在时间上等间隔的离散时间信号称为数字信号。

四、能量信号和功率信号 1、 能量信号将一个电压或电流信号()f t 加到单位电阻上，则在该电阻上产生的瞬时功率为2()f t ，在一段时间)2,2(ττ-内消耗一定的能量。

把该能量对时间区域取平均，即得信号在此区间内的平均功率。

定义：若将时间区域无限扩展，信号满足条件∞<=⎰-∞→dt t f E 222)(limτττ （1-1-1）称为能量信号。

即如果一个信号在无限大时间区域内信号的能量为有限值，则称该信号为能量有限信号或能量信号。

能量信号的平均功率为零。

图 1-22、功率信号 定义：将时间区域无限扩展，信号满足条件∞<==∞→-∞→⎰E dt t f P ττττττ1lim)(1lim222（1-1-2）称为功率信号。

即如果在无限大时间区域内信号的功率为有限值，则称为功率有限信号或功率信号。

功率信号的能量无穷大。

根据能量信号和功率信号的定义，显然可以得出：时限信号（在有限时间区域内存在非零值的信号）是能量信号，周期信号是功率信号，非周期信号可能是能量信号，也可能是功率信号。

1．2 常用连续时间基本信号及特点1.2.1 常用基本信号1、正弦信号正弦信号的表达式为)cos()(ϕω+=t A t f （1-2-1）式中：A 为振幅；ϕ为初相角；ω为角频率。

正弦信号为周期信号，其周期ωπ2=T 。

其波形图如图1-3所示2、指数信号连续时间指数信号的一般表达式stAe t f =)( （1-2-2） 根据A 和s 的不同取值，有三种情况；1） 当m A =和α=s 均为实数时，则)(t f 为实指数信号图 1-3图 1-4当0>α时，为指数递增信号； 当0<α时，为指数递减信号； 当0=α时，)(t f 等于常数。

波形如图1-4所示2）、当1=A 和ωj s =时， 则)(t f 为虚指数信号 t j ste Aet f ω==)(根据欧拉公式，虚指数可表示为 t j t et f tj ωωωsin cos )(+==显然是一个周期信号。

3）、当A 和s 均为复数时，则)(t f 为复指数信号 设ϕj e A A = ωσjs +=则)(t f 可表示为()()()[cos()sin()]st j j t t j t tf t Ae A e e A e e A e t j t ϕσωσωϕσωϕωϕ++==•=•=+++可见当0>σ时，)(t f 为幅度指数递增的正弦振荡信号； 当0<σ时，)(t f 为幅度指数递减的正弦振荡信号 当0=σ时，)(t f 为幅度等幅的正弦振荡信号)(t f 在0>σ，0<σ和0=σ不同情况下的波形如图1-5(a)(b)(c)所示图 1-51．2．2 连续时间周期信号对一个连续时间信号)(t f ，若对所有的t 值均满足条件•••±±=+=,2,1,0)()(m mT t f t f （1-2-3）则称为周期信号。

满足上式的最小T 值称为)(t f 的周期。

不满足周期信号条件的信号为非周期信号。

需要注意：两个周期的相加不一定为周期信号。

若这两个信号的周期分别为1T 和2T ，只有当N M T T =21，且M 和N 均为正整数时，或21T T 为有理数，信号才是周期的。

下面以正弦信号和复指数信号为例说明其周期性：1、连续时间正弦信号t A t f ωsin )(=()sin ()sin()sin(2)sin ()2,2f t T A t T A t T A t k A t f t T k T kωωωωπωπωπω+=+=+=+====由周期信号的定义可见 最小周期 取1k = 2T πω= （1-2-4）（2）、连续时间复指数信号 ()()()j tj t T j t j T f t Aef t T Ae Ae e ωωωω+==+==只有 ωππωω221kT k T eTj ===取 ωπ21==T k （1-2-5）此时 )()(T t f t f +=【例1-1】 判断下列信号是否为周期信号，若是，求出其周期1）、()2(3)4f t cos t π=+2）、2]6[sin()(π-=t t f3)、tj et f 6)(π=4）、t t t f πcos 43sin 2)(+=解： 1）、()2(3)4f t cos t π=+3223πωπω===T 是周期信号，周期为32π2）、)]32cos(1[21]6[sin()(2ππ--=-=t t t fππωπω====2222T 是周期信号，周期为π3）、t j e t f 6)(π=126226====ππωππωT 是周期信号，周期为124）、)()(cos 43sin 2)(21t f t f t t t f +=+=π222322322211=======ππωππωπωπωT T则321π=T T 为无理数，故该函数不是周期信号。

1．2．3 连续时间奇异信号1、连续时间阶跃信号连续时间阶跃信号的定义：（1-2-6）值得注意的是，单位阶跃信号在0t =这一点 是不连续的。

经时移后0001()0t t u t t t t ⎧>⎪-=⎨<⎪⎩ （1-2-7）其波形分别如图1-6和图1-7所示在实际应用中，阶跃信号是一个非常有用 的信号，下面举例说明：【例1-2】 阶跃信号可以确定信号的起点和区间。

画出下列信号的波形 1）、)()(1t tu t f =2）、)()(02t t tu t f -=10()0t u t t ⎧>=⎨<⎩图 1-7图 1-63）、)]2()1([)(3---=t u t u t t f 解：1）、确定信号的起点从0=t 开始波形图如图1-8(a) 2)、确定信号的起点从0t t =开始 波形图如图1-8(b)3)、确定信号的区间从1=t 到2=t波形图如图1-8(c)1()f t t()a t2()f t 0t ()b 03()f t t12()c阶跃信号可以将分段函数表达式写成封闭式函数表达式【例1-3】画出下列信号)(t f 的波形，并写出封闭式表达式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤--≤≤-+=其它031)1(2112)2(31)(t t t t t f 信号的波形如图1-9所示其封闭表达式为：)]3()1()[1(21)]1()2()[2(31)(-------++=t u t u t t u t u t t f【例1-4】 写出图1-10的表达式解：其表达式为)3()1()1(2)]3()1([)]1()1([2)(----+=---+--+=t u t u t u t u t u t u t u t f图 1-8图 1-9图 1-102、连续时间单位冲激信号 1）连续时间冲激信号的定义：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎩⎨⎧≠=∞=⎰∞+∞-1)(000)(dt t t t t δδ （1-2-8）单位冲激信号有两个方面的含义：一方面是在0=t 点有一个幅值为无穷大的信号， 另一方面冲激信号与时间轴覆盖的面积为1。

波形如图1-11所示2）连续时间阶跃信号与冲激信号之间的关系dtt du t )()(=δ （1-2-9） ττδd t u t)()(⎰∞-=（1-2-10）3）连续时间冲激信号的性质1） 相加性质)()()()(t b a t b t a δδδ+=+ （1-2-11）2）相乘性质)()0()()(t f t t f δδ= （1-2-12） )()()()(000t t t f t t t f -=-δδ （1-2-13）3）、取样性质⎰+∞∞-=)0()()(f dt t t f δ （1-2-14） ⎰+∞∞-=-)()()(00t f dt tt t f δ （1-2-15）4）、偶函数)()(t t -=δδ （1-2-16）5）、尺度变换性质)(1)(t aat δδ=（1-2-17） )(1)(00at t a t at -=-δδ （1-2-18）图 1-11⎰+∞∞-=)0(1)()(f adt at t f δ （1-2-19） 6、冲激偶 dtt d t )()()1(δδ=（1-2-20） 冲激偶的性质列于表1-1：表1-1 冲激偶的性质【例1-5】 计算下列各式的值 1） )2()42(23-++t t t δ 2） )22(4+-t et δ3）dt t t )4(sin πδ-⎰+∞∞-4）dt t e t )10(266+-+-⎰δ5） )1()(2+-t t u etδ解：1） )2(20)2()4222()2()42(2323-=-+⨯+=-++t t t t t δδδ 2） )1(21)1(21)22(444+=+=+--t e t e t et tδδδ3）22)4sin()4(sin ==-⎰+∞∞-ππδdt t t 4）0)10(266=+-+-⎰dt t e t δ5) 0)1()(2=+-t t u e tδ1．3 离散时间基本信号及特点1．3．1 正弦序列正弦序列的一般形式)cos()(ϕω+=n A n f （1-3-1）式中：A 为正弦序列的振幅；ω为正弦序列的数字频率；ϕ为正弦序列的初相角。