二元正态分布的密度曲面图
2 2 下图是当 1 2 , 0.75 时二元正态分布的钟形密
度曲面图。
多元正态分布性质
（1）、若 X ( X1, X 2 , X p )T ~ N p (, )， 是对角阵， 则 X1, X 2 , X p 相互独立。 （2）、若 X ~ N p (, ) ， A 为 s p 阶常数阵，则
•有些现象服从多元正态分布
•许多多元统计分布的抽样分布是近似正态分布
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多元正态分布
它是一元正态分布的推广
X ~ N p ,
设随机向量 X ( x1 , x2 ,, x p )' 服从P维正态分布，则有，
f ( X ) 2
p 2

1 2
1 1 exp x x 2

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随机向量的数字特性
随机向量的均值
E ( X 1 ) 1 E( X 2 ) 2 E( X ) E( X ) p p
性质
E ( AX ) AE( X ) E ( AXB) AE( X ) B E ( AX BY ) AE( X ) BE(Y )
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性质
1)若(x1,x2,…，xp)’ 和(y1,y2,…，yq)’不相关。则
cov(x1 , y1 ) cov(x1 , y2 ) cov(x1 , yq ) cov(x2 , y1 ) cov(x2 , y2 ) cov(x2 , yq ) 0 cov(x , y ) cov(x , y ) cov(x , y ) p 1 p 2 p q
(1) q
(1) q
q
注：
(1) 多元正态分布的任何边缘分布为正态分布，但反之不真。 (1) ( 2) (1) (2) 由于 12 cov(X , X ) ，故 12 0 表示 X 和 X ( 2)不相 X (1) 和 X ( 2) 的不相 关，因此可以知道，对于多元正态变量而言， 关与独 cov(x1 , x p ) var(x1 ) var(x2 ) cov(x2 , x p ) cov(x2 , x1 ) Var (x) cov(x , x ) cov(x , x ) var( x ) p 1 p 2 p
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协方差矩阵
1、定义：设 X
( x1 , x2 ,, x p )
和Y
( y1 , y 2 ,, y q )分
别为 p 维和 q 维随机向量，则其协方差矩阵为
x1 E ( x1 ) x E ( x ) 2 2 E y1 E ( y1 ) x E(x ) p p y2 E ( y2 ) yq E ( yq )
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二元正态分布
设x~N2(μ, Σ)，这里 x1 1 x , μ , x2 2
12 1 2 Σ 2 2 1 2
易见，ρ是x1和 x2的相关系数。当|ρ|<1时，可得x的 概率密度函数为
f x1 , x2 1 2 1 2 1 2

随机向量

随机向量: 由多个随机变量组成的向量。 n个样品，p个指标
X ( X1, X 2 , X p )

数据表：变量为列，样品为行。
X1 1 2 …… n x11 x21 …… xn1 X2 x12 x22 …… xn2 …… …… …… …… …… Xp x1p x2p …… xnp
Cov ( xi , x j )
ii jj

ij
ii jj
。
Zi
X i i
ii
, i 1,2, , p
R Cov( Z i , Z j ) rij
1/2 11 1/2 22 R 1/2 11 1/2 22
AX ~ Ns ( A, AAT ) 且对任何 s 维常数向量 d ， X d ~ N p ( d , ) 。
考虑 AX d 的情形？
(3) 、 若 X ~ N p (, )，将 X , , 作如下剖分：
X X ( 2) X pq
11 12 ( 2) 21 22 p q p q 则 X (1) ~ Nq ( (1) , 11 ) ， X ( 2) ~ N pq ( (2) , 22 ) 。
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若X=Y,且各分量相互独立，则协方差矩阵除主 对角线上的元素外均为零，即协方差阵为方差D(x)
0 0 var(x1 ) var(x2 ) 0 0 Var (x) 0 0 var( x ) p
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2）随机向量X的协方差矩阵是非负定矩阵。 证：设a为任意与X有相同维数的常数向量，则
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cov(x1 , y1 ) cov(x1 , y2 ) cov(x1 , yq ) cov(x2 , y1 ) cov(x2 , y2 ) cov(x2 , yq ) cov( X , Y ) cov(x , y ) cov(x , y ) cov(x , y ) p 1 p 2 p q
aa a[E(x )(x )]a E[a(x )(x )a]
E[a(x )]2 0
3）设A是常数矩阵，b为常数向量，则 D(AX+b)=AD(X)A’ ；
D(A X b)
E[(AX b) (A b)][(AX b) (A b)]
F ( x)

x1
x2
f (t1, t2 ,t p )dt1, dt 2 ,, dt p

对一切 x ( x1, x2 ,xp ) R p 成立，则称X有分布密 度f(.)，并称X为连续型随机向量。 性质： ① ②
f ( x) 0 ，对于任意x属于p维实数空间。

R
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相关系数矩阵
若 X ( X1, X 2 , X p )T 的协方差阵存在，且每一 个分量的方差大于0，则称随机向量X 的相关阵为
1 12 R 1p
其中
12
1
2 p
1 p 2 p 1
ij
p
f ( x)dx 1
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边缘分布函数及边缘密度函数
用途：
判断
随机变量的 独立性
多元向量的独立性
独立的充分必要条件：
F ( x1, x2 , xq , xq1,, x p ) F ( x1,, xq )F ( xq1,, x p )
或
f ( x1, x2 , xq , xq1,, x p ) f ( x1,, xq ) f ( xq1,, x p )
2 2 x1 1 x1 1 x2 2 x2 2 1 exp 2 2 1 1 2 2 2 1
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分布函数与密度函数

X ( X1, X 2 , X p )
F ( x) F ( x1 , x2 , x p ) P( X 1 x1 , X 2 x2 , X P x p )
x ( x1, x2 ,x p ) R p
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分布函数与密度函数

设 X ~ F ( x) F ( x1, x2 ,xp ) 若存在一个非负函数f(.)，使得
AE[(x )(x )]A' AD(x)A
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4) 若(x1,x2,…，xp)’和(y1,y2,…，yq)’分别是p 和q维随机向量，A和B为常数矩阵，则
Cov( Ax, By) ACov(x, y )B
证 Cov( Ax, By)
E{[(Ax AE (x)][(By BE ( y)]}
11 12 12 22 1/2 pp 1 p 2 p
1/2 11 1/2 22 1/2 pp
1/2 1 p 11 1/2 2p 22
特别的 X ( X1, X 2 ,, X p ) 中 X i 与 X j (i j) 独立的
F ( xi , x j ) F ( xi ) F ( x j ) f ( xi , x j ) f ( xi ) f ( x j )
多元向量的独立性
两个随机向量X和Y是相互独立的，则 P(X x ,Y y ) P(X x )P(Y y )，对一切x,y成立。 若F(x,y)为(X,Y)'的联合分布函数，G(x)和H(y)分别为X 和Y的分布函数，则X和Y独立当且仅当 F(x,y)= G(x) H(y) 若f(x,y)为(X,Y)’的密度函数，g(x)和h(y)分别为X和Y 的分布密度，则X和Y独立当且仅当 f(x,y)= g(x) h(y) 类似地，若它们的联合分布等于各自分布的乘积，则p 个随机变量是相互独立的。
AE[(x Ex)( y Ey)]B Acov(X ,Y)B'
5) 若(k1,k2,…，kn)是n个不全为零的常数，
(x1,x2,…，xn)’ 是相互独立的n维随机向量，则
2 2 D(k1x1 k 2 x 2 k n x n ) k12 D (x1 ) k 2 D(x 2 ) k n D(x n )
pp
1/2 pp
1/ 2 pp