专题12向量与圆锥曲线★★★高考在考什么【考题回放】 2 占 1(a b 0)的左准线上•过点P 且方向为a=(2,-5)的 b 光线，经直线y =-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 (C) 32 x i .点P(-3,i)在椭圆弋 a(A )占 八、、 2.已知双曲线X 2M 到x 轴的距离为( 2y 2 C ) 1的焦点为 F i 、 F 2, 点M 在双曲线上且 uuu ur MF i1(D )-2UUULTMF 2 0,则(A ) 4 3 3.设过点P(x,y)的直线分别与 (B ) 5 3 x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于 UUU UUU UULT UUU (D ) .3 点P 关于y 轴对称， O 为坐标原点，若 BP 2PA 且 OQgAB 1，则点 是 (D )A . 3x 2 3 22y 1(x 0,y 0) B . 3x 2 3 2 尹1(x 0,y 0)3 2C . - x 23y 21(x 0,y 0)D . 3 2 x3y 2 1(x 0,y 0)uu r 为坐标平面内的动点，满足 (-2 , 0)、 N 0)，点 P 4 .已知两点 M A,B 两点，点Q 与 P 的轨迹方程 (2, MN MP (A ) y 25.若曲线 MN NP 0,则动点P (x , y )的轨迹方程为(B ) 2 2 2 8x (B ) y 8x (C ) y 4x (D ) y 4xy 2 = |x|+ 1与直线y = kx + b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是 _ .k0,b ( 1,1) 2的点P 的轨迹6 •已知两定点F i 12,0 ,F 2 .2,0 ，满足条件 UU UUPF 2 PF i是曲线E ,直线y=kx-1与曲线E 交于A,B 两点。

如果 AB UUU uuu UULT C ,使OA OB mOC ，求m 的值和 ABC 的面积S 。

E 是以【专家解答】由双曲线的定义可知，曲线 F 1 .2,0 ,F 2 . 2,0为焦点的双曲线的左支, 且c -、2, a 1，易知 故曲线E 的方程为x 2 b 1, y 2 1 x 设 A x i ,y i ,B X 2,y 2，由方程组kx 1 y 2 i6、, 3，且曲线E 上存在点12消去 y ，得 1 k 2 x 2 2kx 2 0 A,B ，有又已知直线与双曲线左支交于两点k 2 1 22k1 k 2x 1 x 2x 1x 22k 门0 1 k 2 20 1 k 2又•••AB1 k2 x 1 x 22k 1 k 2J k 22x 1 x 24x 1x 2Il 21 k 22 k 2 1 k 2依题意得 2 1『食/ 63整理后得42 28k 455k 225 0故直线AB 的方程为 设 C X c ,y c ，由已知x 缶 OA yuuuOBuuurmOC ，得 X i ,y iX 2,y 2 mx c , my c•- X c , y cx-i x又 x-i x 2 •••点 C m2k k 21 45 8 y im 4.5 , y iy 2 k X i x 2 2将点C 的坐标代入曲线 E 的方程,m m 4，但当m2k 2 k 21得卑mk 2 64 -2 m4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意並躬2224 , C 点的坐标为 ,5,2 , C 到AB 的距离为2AA___• ABC 的面积 S 一 6、、3 -、、32 3★★★高考要考什么【考点透视】近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为2（1） 考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标运算、数量积及学生对平面向 量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。

（2） 考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标 准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。

【热点透析】向量具有代数与几何形式的双重身份，故它是联系多项知识的媒介，成为中学数学 知识的一个交汇点，数学高考重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，因此， 解析几何与平面向量的融合交汇是今后高考命题改革的发展方向和创新的必然趋势。

要注意以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问 题以及圆锥曲线中的轨迹、范围、最值、定值、对称等典型问题。

★ ★★突破重难点2【范例1】设双曲线x 1 2 y 1上两点A 、B ，AB 中点M （ 1，2）2（1） 求直线AB 方程；（2） 如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于 C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 是否共圆，为什么？解析：（1）法一：显然 AB 斜率存在。

设AB : y-2=k （x-1）y kx 2 k 由 2 y 2得（2-k 2）x 2-2k （2-k ）x-k 2+4k-6=0 x ——12••• k=1，满足△ >0 •••直线 AB : y=x+12 x1法二：设 A (X 1,y 1), B (X 2,y 2),贝U2X 21(X 1-X 2)(X 1+X 2)= (y 1-y 2)(y 1+y 2)2y 1 y 2 •/ X 1MX •X 1 X 2 • AB : y=x+1 代入2(X 1 X 2).,又CD 为弦，故圆心 M 为CD 中点。

因此只需证 CD 中点M 满足|M A|=|M B|=|M C|=|M D| y x 1由 2 v 2 得 A (-1, 0), B (3, 4).又 CD 方程：y=-x+3x 12y x 3… k ABy 1 y 22X 2 y 1 得厶 >0.2 当厶 >0 时，设 A （ X 1,y 1）, B （ X 2,y 2），则X 1 X 2k(2 k) 2 k 2（2）设A 、B 、C 、D 共圆于O M ，因AB 为弦,故M 在AB 垂直平分线即 CD 上; 2y 22两式相减得由2v2得X2+6X-11=0.设C(x3,y3), D(x4,y4), CD 中点M( X0,y0) x2 1则x0仝匕3, y0x0 3 6 ••• M (-3, 6)2•- |M C|=|M D|= 1 |CD|=2.102又|MA|=|M B|=2J0 • |M A|=|M B|=|M C|=|M D|• A、B、C、D在以CD中点，M (-3, 6)为圆心，210为半径的圆上【点晴】第(1)小题中法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。

在利用点差法时，必须检验条件厶>0是否成立；第(2)小题此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件，本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心。

充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视。

【文】在平面直角坐标系x O y中，直线I与抛物线y2= 2x相交于A、B两点.(1)求证：如果直线I过点T (3, 0),那么OA OB = 3”是真命题；(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.［解］(1)设过点T(3,0)的直线I交抛物线y2=2x于点A(X1,y”、B(x2,y2).当直线I的钭率不存在时，直线I的方程为x=3，此时，直线I与抛物线相交于点A(3, .6)、B(3, - .6). • OA OB =3;当直线I的钭率存在时，设直线I的方程为y k(x 3)，其中k 0,y22x o由得ky2 2y 6k 0 y1 y2 6y k(x 3)1 2 1 2又• x1 ㊁f,x2 -y2 ,UUU UUUT 1 2•OAgOB X1X2 y1 y2 4( y1 y2) 河2 3,综上所述，命题如果直线I过点T(3,0)，那么OA OB =3”是真命题；(2)逆命题是：设直线I交抛物线y2=2x于A、B两点，如果OA OB =3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.1 UUU uuu例如：取抛物线上的点A(2,2) , B( ,1)，此时OAQB =3,直线AB的方程为：2y 2(x 1)，而T(3,0)不在直线AB 上;3说明：由抛物线y2=2x上的点A(X1,y”、B (x 2,y2)满足OA OB =3，可得y1y2=- 6, 或y1y2=2，如果y1y2= —6，可证得直线AB过点(3,0);如果y1y2=2，可证得直线AB过点(—1,0),而不过点(3,0).【范例2】已知i , j是x,y轴正方向的单位向量，设a = (x . 3)i yj ,b = (x J3)i yj，且满足b ? i =| a |.求点P(x,y)的轨迹.解：法一：Qb i (x 、、3){2yi r j x ,•x -.3 , (x 3)2y2，化简得y? 4,3x ,故点P的轨迹是以(、3,0)为焦点以x 为准线的抛物线法二：Q b i |b | cos b, ir 则b i 表示b 在x 轴上的投影， 即点P 到x , 3的距离， 设 F 1 (- ,3,0), F 2( '..3 ,0), 所以点 P 到定点 F 2的距离与到定直线 x .3 的距离相等， 故点P 的轨迹是以(・.-3,0)为焦点以 x .3为准线的抛物线。

【点晴】将向量问题坐标化进而数量化(法一)和将向量问题几何化 种常用转化方法，应熟练掌握。

【文】已知i , j 是x,y 轴正方向的单位向量，设a b = (x(1) (2) 占当 八、、、解： (法二)是两=(x ..3)i yj , 3)i yj ，且满足 |a |+|b |=4. 求点P(x,y)的轨迹C 的方程. 如果过点Q(0, m)且方向向量为C AOB 的面积取到最大值时，求 m (1) a = (x .3)i yj ,b =(x =(1,1) 的值。

,3)i 的直线I 与点P 的轨迹交于 yj ，且|a |+|b |=4. 24,故点P 的轨迹方程为* 4 (2)设A(x 1, y 1),B(x 2 , y 2)依题意直线 AB 的方程为 y=x+m .代入椭圆方程，得 5x 28mx 4m 24 0，则 x 1 + x 2=-|m, x 1?x 2 =4(m 21) 因此，S AOB 2|ABd 5 i (5 m 2)m 2 当 5 m 2 m 2时，即 m= 4° 时，S max 1 【范例3】已知点A( 2.2 ,0) ,B( 、2 ,0)动点P 满足AP AB .. 2 | AB | | BP | (1) 若动点P 的轨迹记作曲线 C 1，求曲线C 1的方程. (2) 已知曲线C 1交y 轴正半轴于点 Q ,过点D (0, )作斜率为k 的直线交曲 3 为直径的圆过点 Q. AB ( . 2,0) BP (x .. 2,y) 2 .2 , (x ■ 2)点P(x,y)到点(••. 3 ,0)，(- 3 ,0)的距离这和为 y 2 1 线C 1于M 、N 点，求证：无论k 如何变化，以MN 解：(1 )设 P(x ，y)，则有 AP (x 2 2, y) 2 |AB| | BP| •••、.. 2x 442二 1 得 Q (0,2 ) •/ AP得x 2 (2)AB2y 22由2 4设直线C 的方程为y=kx =34 . 2x 2+2y 2=4 得(1+2k 2) x 2 kx_3设 M(x 1, y 1) N(x 2, y 2)QM(x 1, y 1 代入 32门92),QN by ? ■ 2)(1)••• X 1 X 24 2k7 732、・21 223(1 )k9(1 2k )4.2 4.2― i 2、 又••• QMQN X 1X 2 (kx 13 )(kx 23 ) =x 1x 2(1 k )32“4.2 k(X 1 X 2) 32 (1 9k ) 4 2k3239 1 : 2k 23 3(1 2k 2) 9••• QM QN •••点Q 在以MN 为直径的圆上【点晴】 直接法求轨迹是最常见的方法，要注意运用；向量是将几何问题代数化的 Q 是点P 关于原点的对称点 .设点 P 分有向线段AB 所 成的比为，证明：QP (QA QB)；解：依题意，可设直线 AB 的方程为y kx m, 代入抛物线方程x 2 4y 得 2 X 4kx 4m 0. ①设A 、B 两点的坐标分别是 (x 「yj 、 化”2), 则X 1、X 2是方程①的两根.所以 x 1x 2 4m. 有力工具。