at
]
]


0
e
1
at
e
st
dt
1 s a

e
( s a )t 0

1 sa
j t
s j
机械工程控制基础
3 . f ( t ) ( t ) （单位脉冲函数）
0 (t 0 ) (t ) (t 0 )
拉普拉斯变换及反变换
L
1 2 j
F1 ( s ) F 2 ( s )
九、尺度变换性
机械工程控制基础
拉 普 拉 斯 变 换 的 基 本 性 质 表
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉 普 拉 斯 变 换 的 基 本 性 质 表
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换的基本性质表
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
F ( s)
例
机械工程控制基础
四、时域平移
设 ℒ [ f ( t )] F ( s )
拉普拉斯变换及反变换
f(t)
平移
f(t-t0)
机械工程控制基础
五、 S域平移
设 ℒ [ f ( t )] F ( s )
则 ℒ [e
t
拉普拉斯变换及反变换
f ( t )] F ( s )
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
二、拉普拉斯反变换 1、由象函数求原函数 f(t)=L-1[F(s)] （1）利用公式
f (t )
2πj
1
j
j
F ( s )e d s
st
t 0
较麻烦
（2）经数学处理后查拉普拉斯变换表
F ( s ) F1 ( s ) F 2 ( s ) F n ( s )
u(t) t
F(s)=
0

0

e
st
dt
1 s

e
st 0


1 s
机械工程控制基础
2 . f (t ) e
at
拉普拉斯变换及反变换
u (t )
(指数函数)
（ t 0） 0 f (t ) t e （ t 0）
F(s)= ℒ [e ℒ [e
0
t

F(s)=L[f(t)]=
te
0

st
dt
t s
e
st
0

1
s

e
st
0
dt
1 s
2
机械工程控制基础
5 . f ( t ) t （幂函数）
n
拉普拉斯变换及反变换
ℒ [t ] t e
n n 0


st
dt
e
st
0

t
n
de s
2
； ；
当n＝2，ℒ [t ]
2 s
3

依次类推， 得
ℒ
机械工程控制基础
常 用 函 数 的 拉 普 拉 斯 变 换 表 δ(t) δ(n)(t) u(t) t tn e-at te-at tne-at e-jwt 1 sn 1/s 1/s2
n!
拉普拉斯变换及反变换
sn+1
1
s+a
1
(s+a)2
ℒ
1[
1 s
] e
t
( t 0)
机械工程控制基础
2.3
一、线性性质
拉普拉斯变换及反变换
拉普拉斯变换的基本性质
若 ℒ [f1 ( t )] F1 ( s ) , ℒ [f 2 ( t )] F2 ( s )
则 ℒ [a f1 ( t ) b f 2 (t )] aF ( s ) bF ( s ) 1 2
s 0
1 s

1 s1
1 ) 1
i(t )
1 s
t

s1
机械工程控制基础
例4：已知F(s)=
1 s a
拉普拉斯变换及反变换 ，求f(0)和f(∞)
解：由初值定理得
f (0)
lim
sF ( s )
s
lim
s
1 s a
1
s
由终值定理得
f ( )
lim
sF ( s )
• 对方程两端进行拉氏变换，应用线性组合与微分定理可得 [S2R(s)-Sr(0-)-r/(0-)]+a1[SR(s)-r(0-)]+a0R(s)=b1[SE(s)-e(0-)]+b0E(s)
• 整理合并得
（S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b1×0
象函数F(s) 用大写字母表示 ,如F(s) ，I(s)，U(s)。
拉普拉斯变换对，记为：
L f(t)
L
_1
F(S)
机械工程控制基础 2.2
拉普拉斯变换及反变换
常用函数的拉普拉斯变换
1 . f ( t ) u ( t )（单位阶跃函数）
1 t 0 u (t ) 0 t 0
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
补充：拉普拉斯变换及反变换 概述 拉氏变换对是求解常系数线性微分方程的工具。 把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经 求解再还原为时间函数。
机械工程控制基础
内容
一、 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换及反变换
（1）定义
（2）常用函数的拉普拉斯变换 （3）拉普拉斯变换的基本性质 二、 拉普拉斯反变换
例1 例2
ℒ [ A (1 e ℒ [s in t ]
1 [
t
)]
A(
1 2j
1 s

1 s
j t
)

ℒ[
(e
j t
欧拉公式
e
)]

1
2 j s j

1 s j
]
s
2
2
机械工程控制基础
二、微分定理
设 ℒ [ f ( t )] F ( s )
机械工程控制基础
一、拉普拉斯变换 1. 定义
L aplace 正变换
Laplace 反变换
拉普拉斯变换及反变换
F (s)
f (t ) 1
0
0

表示为：
st
f (t )e — —
j
dt
F(s)=ℒ[f(t)] f(t)=ℒ -1[F(s)]
2 j
j
F ( s )e ds

1 R Ls

1 sa

1 L

1 s R L
（5）作Laplace反变换得
零状态响应电流 i(t)= ℒ-1[I(s)]
L(
1 R L a)
(e
at
e

R L
t
) u (t )
机械工程控制基础
八、S域卷积性
L L
拉普拉斯变换及反变换
域 卷 积 性 ： 若 f 1 ( t ) F1 ( s ), f 2 ( t ) F 2 ( s ) 则 f1 ( t ) f 2 ( t )
dt
r (t ) a1
d dt
r (t ) a0 r (t ) b 1
d dt
e (t ) b0 e (t )
初态为r(0-)及r/(0-)，原始值为e(0-)=0，求r(t)的象函数。
解：设r(t)，e(t)均可进行拉氏变换即有E(S)=L[e(t)] , R(S)=L[r(t)]
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
• 作业
1、 写出拉普拉斯变换定义式 2、
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
1
__
(s-1)2
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
st
( t 0)
st
拉氏变换积 分上限说明：
F (s)




f (t )e
dt
0


0
f (t )e
st
dt
0



f (t )e
st
dt
0
当f(t)含有冲激函数项时，此项 0
机械工程控制基础
s
拉普拉斯变换及反变换
j 称为复频率 。
f(t) ，t [0,)称为原函数，属时域。 原函数 用小写字母表示，如 f(t) ，i(t)，u(t) F(s) 称为象函数，属复频域 。
L
例 右图所示电路中，电压源为
u i (t ) e
at
u (t )
，
R i(t) L h(t)
试用时域卷积定理求零状态响应电流i(t)。 解（1）写出系统动力学方程
i (t ) R L di ( t ) dt u i (t )
u i (t )
（2）作Laplace变换得
I ( s ) R LsI ( s ) U i ( s )
Ui(s)
H(s)
I(s)
系统方框图
机械工程控制基础