数值计算方法习题一（2）习题二（6）习题三（15）习题四（29）习题五（37）习题六（62）习题七（70）2009．9，9习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x x δδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352 ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+ =2(0.3443100.1352)fl ⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =0.3456210⨯易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==0.5%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x >>，（A ）y=，（B ）y = （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos2xy x-=；（4）（A）9y =-（B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。
（1）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
故（B ）算得准确些。
（2）（B ）中两个相近数相减，而（A ）中避免了这种情况。
故（A ）算得准确些。
（3）（A ）中2sin x 使得误差增大，而（B ）中避免了这种情况发生。
故（B ）算得准确些。
（4）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
故（B ）算得准确些。
6．用消元法求解线性代数方程组1515121210102x x x x ⎧+=⎨+=⎩ 假定使用十进制三位浮点数计算，问结果是否可靠？ 解：使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为1161612111120.100100.100100.10010(1)0.100100.100100.20010(2)x x x x ⎧⨯+⨯=⨯⎪⎨⨯+⨯=⨯⎪⎩（1）-（2）得161620.100100.10010x ⨯=⨯，即120.10010x =⨯，把2x 的值代入（1）得10.000x =；把2x 的值代入（2）得110.10010x =⨯解1110.1001020.00010x x ⎧=⨯⎪⎨=⨯⎪⎩不满足（2）式，解1110.1001020.10010x x ⎧=⨯⎪⎨=⨯⎪⎩不满足（1）式，故在十进制三位浮点数解该方程用消元法计算结果不可靠。
7．计算函数32()331f x x x x =-+-和()((3)3)1 2.19g x x x x x =-+-=在处的函数值（采用十进制三位浮点数计算）。
哪个结果较正确？解：110657.010480.0310219.010480.0)19.2(1111-⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=f 110657.010144.010105.0122-⨯+⨯-⨯= =10.16710⨯=)19.2(g 110219.0)310219.0)81.0((11-⨯⨯+⨯⨯-110219.010123.011-⨯⨯⨯==10.16910⨯即1()0.16710f x =⨯，1()0.16910g x =⨯而当 2.19x =时32331x x x -+-的精确值为1.6852，故()g x 的算法较正确。
8．按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算）：（1）6113i i =∑；(2)1613i i =∑。
解：（1）623456111111113333333i i ==+++++∑=0.3330.1110.0370.0120.0040.001+++++489.0=（2）165432611111113333333ii ==+++++∑=0.0010.0040.0120.0370.1110.333+++++489.0=9．已知三角形面积1sin 2S ab C =，其中02C π<<。
证明：()()()()S a b C δδδδ≤++。
证明：由自变量的误差对函数值的影响公式：1212112(,,,)((,,,))()(,,,)ni n n i i n ix f x x x f x x x x f x x x x δδ=∂≈∂∑。
得(,,)(,,)(,,)((,,))()()()(,,)(,,)(,,)a S a b C b S a b C C S a b C S a b C a b C S a b C a S a b C b S a b C Cδδδδ∂∂∂=++∂∂∂()sin ()sin ()cos ()sin sin sin a b C S b C a a C b ab C C ab C ab C ab Cδδδδ=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=()()()Ca b C tgCδδδ++()()()a b C δδδ≤++（当02C π<<时，C tgC <），命题得证。
习题二1．找出下列方程在0x =附近的含根区间。
（1）cos 0x x +=；（2）3cos 0x x -=； （3）sin()0xx e--=；（4）20x x e --=；解：（1）设()cos f x x x =+，则(0)1f =，(1)-0.4597f -=，由()f x 的连续性知在[]1,0x ∈-，()f x =0有根。
同题（1）的方法可得：（2），（3），（4）的零点附近的含根区间分别为[]0,1；0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；[]0,12．用二分法求方程sin 10x x -=在[]0,2的根的近似值并分析误差。
解：令()sin 1f x x x =-，则有(0)10f =-<，(2)0.81860f =>，'()sin cos 0f x x x x =+>，[]0,2x ∈所以函数()f x 在()0，2上严格单调增且有唯一实根x *。
本题中求根使得误差不超过410-，则由误差估计式12||+-≤-k k a b x α，所需迭代次数k 满足411022-+<-k ，即取28.13≥k 便可，因此取14=k 。
用二分法计算结果列表如下：由上表可知原方程的根7343751.1141967714=≈x α该问题得精确解为 08711.11415714=α，故实际误差为 0000396.03．判断用等价方程()x x φ=建立的求解的非线性方程32()10f x x x =--=在1.5附近的根的简单迭代法1()k k x x φ+=的收敛性，其中（A ）2()11/x x φ=+；（B）()x φ；（C）()x φ=解：取1.5附近区间[]1.3,1.6来考察。
（A ）21()1x x φ=+，显然当0x >时，()x ϕ单调递减，而(1.3) 1.59171596φ=，(1.6) 1.390625φ=，因此，当[]1.3,1.6x ∈时， []() 1.3,1.6x φ∈。
又当[]1.3,1.6x ∈时，3322'()0.9211.3x x φ=-≤<<， 由迭代法收敛定理，对任意初值[]1.3,1.6x ∈，迭代格式1211k kx x +=+， (0,1,2,)k =收敛。
（B ）132()(1)x x φ=+，则(1.3) 1.390755416φ=，(1.6) 1.526921344φ=，22312'()03(1)x x x φ=>+ (0)x >，所以当[]1.3,1.6x ∈时， []() 1.3,1.6x φ∈。
又当[]1.3,1.6x ∈时，22223322 1.6'()0.552133(1)(1 1.3)x x x φ=≤<<++，由迭代法收敛定理，对任意初值[]1.3,1.6x ∈，迭代格式1231(1)k kx x +=+，(0,1,2,)k =收敛。
（C）()x φ=[]1.3,1.6x ∈时，有 332211'() 1.0758*******(1)2(1.61)x x φ-=≥=>--，所以对任意初值[]1.3,1.6x ∈（原方程的根除外），迭代格式1k x +=(0,1,2,)k =发散。
4．确定()x x φ=的简单迭代法1()k k x x φ+=的收敛区间[],a b 。
如果收敛，试估计使精度达到410-时所需的迭代次数并进行计算。
（A ）22()3x e x x φ-+=； （B ）25()2x x φ=+； （C ）sin cos ()2x xx φ+=解：（A ）方程为0322=-+-x x e x ，设x x e x f x 32)(2-+-=，则01)0(>=f ， 0-0.8987)5.0(<=f ，故有根区间为]5.0,0[，题中22()3x e x x φ-+=， 3333.0|302||32||)('|0=-⨯≤-=e e x x x φ故迭代公式22()3x e x x φ-+=在含根区间]5.0,0[收敛。