[例1] 一质点在 xoy 平面内按 x =t 2 的 规律沿曲线 y = x 3/320运动，其中 x、y 以
cm为单位，t 以 s 为单位。
试求：质点在2秒末到4秒末的位移。
解：xΒιβλιοθήκη =t2y=t6320
t = 2s: x2 = 4.0 , y2 = 0.2
t = 4s: x4 = 16.0 , y4 =12.8
3. t =1s 及 t =2s 时刻的瞬时速度
r =t 3 i +t 2 j
v
=
dr dt
= 3t2
i
+ 2t
j
v1= 3 i + 2 j
v 2 =12 i + 4 j
4. 上述时间内的平均加速度
a
=
v2 Δ
tv1=
9
i
+
2
j
5. t =1s 时刻的瞬时加速度
a
=
dv dt
=6t
i+2j
a1 = 6 i + 2 j
=
vBx Δ
t
vAx
i
+
vBy Δ
vAy t
j
+
vBz vAz Δt
k
=
Δ Δ
vx t
i
+
Δ Δ
vy t
j
+
Δ vz Δt
k
结束 返回
2. 瞬时加速度
a
= lim
Δt 0
Δ Δ
v t
=
dv dt
=
dvx dt
i
+
dvy dt
j
+
dvz dt
k
=
d2x dt 2
i
+
d2y dt 2
j
+
d2z dt 2
位移 速度 加速度
牛顿 I.Newton
§1-2 位移 速度 加速度
一、位置矢量(位矢)
z
位置矢量 r
r = x i+y j+ z k 大小:
r =r = x2 + y2+ z2
P
γ
a o kβ r
ij
y
方向:
x
cosa
=
x r
cosβ =
y r
cosγ=
z r
结束 返回
二、位移
rA = xA i + yA j + zA k
v = 22π v ·r = 0
vr
结束 返回
3. 瞬时加速度：
v = 3×π6 sin (π6 t ) i +3×π6 cos (π6 t )j
a
=
dv dt
=
dvx dt
i
+
dv y dt
j
= _ 3 (π6 )2cos(π6 t ) i _ 3 (π6 )2sin(π6 t ) j
= _ (π6 )2[ 3 cos(π6 t ) i +3 sin(π6 t ) j ]
Δ x =12(cm) Δ y =12.6 (cm)
Δ r = 12 i +12.6 j (cm)
结束 返回
Δ r = 12 i +12.6 j (cm)
Δ r = 17.4 (cm)
φ
= arc tg
Δy Δx
= 46.40
y (cm)
15
10
Δr
5
Δy
φ Δx
O
5
x 10 15 (cm)
结束 返回
=
_ (π )2
6
r
a 与 r 方向相反，可见加速度指向圆心。
[例3] r =t 3 i +t 2 j ( r 以m计,t 以 s 计) 1. t = 1s到 t = 2s的位移
r 1
=
i
+j
r2= 8 i + 4 j
Δr =7i + 3j
2. 上 述时间内的平均速度
v
=
Δ Δ
r t
=7i
+3
j
结束 返回
d
(x dt
+
b)
=
h l
db dt
=
h h
l
v
0
vo
h
l
bx
结束 返回
五、运动学的两类问题 第一类问题：(求导问题)
已知： r = r ( t )
求：轨迹 、v =v (t )、a =a(t )
（2）人影中头顶的移动速率。
解： h x+b
=
l b
hb = l (x+b)
h
db dt
=l
d
(x +b) dt
=l
dx dt
+l
db dt
影子长度增长速率为：
vo
db dt
=
l h
l v0
b
dx dt
=
v
0
h l x 结束 返回
...
hb = l (x+b)
db dt
=
l h
l v0
所以人影头顶移动速率为：
rB = xB i + yB j + z B k
Δr
= ( xB_ xA) i
+
( yB
_yA
)j
+
(
z
_
B
z
A
)k
= Δ x i +Δ y j +Δ z k
z A Δs
Δ r = Δ x 2+ Δ y 2+ Δ z 2 问题：
rAΔ r B
1. Δ r =Δ r =(Δr)？
o
x
rB y
2.路程和位移的大小有什么不同 ？ 结束 返回
k
3. 加速度大小
a=
a
=
dv dt
= ax 2+ a y 2+ a z 2
注意：a
dv dt
！
结束 返回
[例2] r = 3 cos(π6 t )i + 3 sin(π6 t ) j
（式中r 以m计，t 以 s计）试求： 1. 运动方程及轨迹方程；
2. 瞬时速度； 3. 瞬时加速度。
解：1.运动方程为
结束 返回
[例4] 人以恒定速率v 0 运动。 求: 任意位置船相对于河岸的速度、加速度。
y
v0
x
r hh
x
结束 返回
r=xi h j
r = r=
x 2 + h2
v 0
v
=
dr dt
=
dx dt
i
y x
O
r h
x
dr dt
=d
x d
2+ t
h
2
=
x dx x 2+h2 dt
=
v0
v
=ddrt
=
dx dt
三、 速度
1.平均速度
v
=
Δ Δ
r t
=
Δ Δ
x t
i
+ΔΔ
y t
j
+
Δ Δ
z t
k
2.瞬时速度
A dr
v
=
lim Δ Δ t 0Δ
r t
=
dr dt
rA Δ r
=
dx dt
i
+
dy dt
j
+
dz dt
k
rB
B
= vx i + vy j + vz k
结束 返回
3. 速率
平均速率:
v
=
Δs Δt
Δr Δt
x = 3 cos (π6 t ) y = 3 sin (π6 t )
从运动方程中消去t得轨迹方程：
x 2 + y 2 = 32
结束 返回
r = 3 cos(π6 t )i + 3 sin(π6 t ) j
2. 瞬时速度：
v
=
dr dt
= 3×π6 sin (π6 t ) i +3×π6 cos (π6 t )j
i=
v0 x
x 2+h 2 i
a
=
dv dt
=
d 2x dt 2
i
=
v20 x
h2
3
i
结束 返回
解二： v
0
x 2 + h2 =l 2 等式两边微分得：
2xdx = 2l dl
y x
O
l h
x
x
dx dt
=
l
dl dt
dx dt
=
l x
dl dt
=
l x
v0 =
v0 x
x 2+h2
结束 返回
[例5] 路灯高度为h,人高度为l,步行速度为 v0 .试求： （1）影子长度增长的速率；
瞬时速率:
v
=
lim Δ Δ t 0Δ
s t
=
ds dt
=
v
=
lim
Δt 0
Δ Δ
r t
=
dr dt
= vx 2+ v y 2+ v z 2
注意：v
dr dt
！
A
rA
Δs Δr
B
rB
A Δs
rA