西华大学2014年专升本（高等数学）答案二、填空题（把答案填在括号中。
本大题共5个小题，每小题3分，总计15分）1、设(0),f a '=则0()(0)lim x f x f x∆→-∆-=∆（ a - ）2、设()f x 的一个原函数是sin x ，则()xf x dx '=⎰（ cos sin x x x C -+ ）3、微分方程2563xy y y xe '''-+=的特解可设为（ *2()xy x ax b e =+ ）4、幂级数0()!n n x n ∞=-∑的和函数为（ xe - ）5、设23,58A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦则1A -=（ 8352⎡⎤⎢⎥⎣⎦） 二、判断题（把答案填在题中括号中，正确的打√，错误的打⨯，本大题共5个小题，每小题2分，总计10分）1、点(0,0)是曲线sin y x =的拐点.( √ ) 2、直线13215x y z+-==-与平面2580x y z -+-=相互垂直. ( √ )3、如果函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某一邻域内偏导数,z zx y∂∂∂∂都存在，则函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微. ( ⨯ )4、1nn u∞=∑是常数项级数，若lim 0,n n u →∞=则1nn u∞=∑收敛. ( ⨯ )5、设,A B 是同型矩阵，则22()().A B A B A B +-=- ( ⨯ )三、求解下列各题（本大题共4小题，每小题6分，总计240分）1、求极限sin 0lim .xx x +→解：0lim sin ln sin sin ln 00lim lim x x xx x x x x x e e +→++→→==112000ln lim ln lim limx x x xx x xx x e e e ---+++→→→-===0 1.e ==2、求不定积分sin cos .x x xdx ⎰解：1sin cos sin 22x x xdx x xdx =⎰⎰ 11cos 2[cos 2cos 2]44xd x x x xdx =-=--⎰⎰11[cos 2sin 2]42x x x C =--+3、求定积分ln 0.⎰解：令t =2ln(1)x t =+，故ln 12021ttdt t =+⎰⎰ 22112200112211tt dt dt t t +-==++⎰⎰12(arctan )2(1).04t t π=-=-4、设22(,),z xyf x y x y =+-其中f 是可微函数，求,z zx y∂∂∂∂. 解：2212(,)(2),zyf x y x y xy xf f x∂''=+-++∂ 2212(,)(2).zxf x y x y xy f yf y∂''=+-+-∂ 四、解答题（本大题共6小题，每小题6分，总计36分）1、设21sin ,0(),,0x x f x xax b x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在0x =处可导，求,a b 的值.解：因为()f x 在0x =处可导，故()f x 在0x =处连续。
即0lim ()(0).x f x f b →==又21lim ()lim ()lim sin 0.x x x f x f x x x++→→→=== 因此0.b = 又(0)(0)f f -+''=，0()(0)(0)lim x f x f f x --→-'=00lim ,x ax b a x-→+-== 0()(0)(0)limx f x f f x++→-'=2001sin 01lim lim sin 0,x x x x x x x ++→→-=== 故0.a = 2求微分方程20xy y e-'+-=的通解.解：通解为22[]dx dx xy e e e dx C --⎰⎰=+⎰222[]()x x x x x e e e dx C e e C ---=+=+⎰3、判断下列正项级数的敛散性.(1)13(1)3nnn ∞=+-∑ 解：因为3(1)4033n n n +-<≤，又143nn ∞=∑收敛（等比级数），由比较审敛法得13(1)3nnn ∞=+-∑收敛。
(2)11ln(1)n n ∞=+∑ 解：因为1ln(1)lim 11n n n→∞+=，又11n n∞=∑发散，由比较审敛法的极限形式得11ln(1)n n ∞=+∑发散。
4、计算二重积分D⎰⎰，其中{2222(,)|4}.D x y x y ππ=≤+≤解：sin DDrrdrd θ=⎰⎰⎰⎰220sin d r rdr πππθ=⎰⎰22sin r rdr πππ=⎰22cos rd rπππ=-⎰222[cos cos ]r rrdr πππππ=--⎰222[2()sin ]6.rππππππ=----=-5、求()()yy L I x edx y xe dy =+++⎰，其中L 是圆周222x y x +=从点(2,0)A 到原点(0,0)O 的一段弧.解：(,),(,)yyP x y x e Q x y y xe =+=+，,,y y P Q e e y x ∂∂==∂∂故P Qy x∂∂=∂∂， 曲线积分与路径无关。
选择新路径AO ，故()()y y LAOI x e dx y xe dy==+++⎰⎰02(1) 4.x dx =+=-⎰6、当,a b 取何值时，方程组12323123234,22,,2236ax x x x bx ax x x ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩有唯一解、无解、有无穷多解？解：增广矩阵234(|)0222236a A B b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2340220232a b ⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪---⎝⎭2340220030a b b ⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭当3b =时，(|)()23r A B r A ==<，方程组有无穷多个解。
当3b ≠时，(|)()3r A B r A ==，方程组有唯一解。
五、证明题（本大题共3小题，每题5分，总计15分）1、设()f x 在[,]a b 上连续且()0,f x >又1()()()x x abg x f t dt dt f t =+⎰⎰，证明：()0g x =在(,)a b 内有且仅有一个根.证明：易知()g x 在[,]a b 上连续，11()0,()()a b ba g a dt dt f t f t ==-<⎰⎰()()0,bag b f t dt ==>⎰()()0g a g b <，故由零点定理得，方程()0g x =在(,)a b 内至少存在一个根。
又1()()0,()g x f x f x '=+>故方程()0g x =在(,)a b 内最多有一个根。
综上所述，方程()0g x =在(,)a b 内有且仅有一个根.2、求证：当0x >时，有不等式ln(1).1xx x x<+<+ 证明：设()ln(1)f x x =+，易知函数()f x 在[0,]x 上连续，在(0,)x 内可导且1()1f x x'=+， 由拉格朗日中值定理得：()(0)()f x f xf ξ'-=，即()(0)1xf x f ξ-=+，其中0.x ξ<< 又11111x ξ<<++，因此ln(1).1x x x x<+<+ 3、已知{}n a 是等差数列，0n a >，证明级数11n na∞=∑发散.证明：{}n a 是等差数列，0n a >，故设1(1),0n a a n d d =+->。
于是11111(1)n n n a a n d∞∞===+-∑∑，取1n v n =，又11(1)1lim 1n a n d dn→∞+-= 而11n n ∞=∑发散，由比较审敛法的极限形式得11n na ∞=∑发散。
西华大学2015年专升本（高等数学）答案一、判断题（把答案填在题中括号中，正确的打√，错误的打⨯，本大题共5个小题，每小题2分，总计10分）1、若级数1||n n a ∞=∑收敛，则级数1(1)n n n a ∞=-∑也收敛.( √ )2、函数2x y x e =是微分方程20y y y '''-+=的解. ( ⨯ )3、无穷小量的倒数是无穷大量. ( ⨯ )4、方程2219z x +=在空间中所表示的图形是椭圆柱面. ( √ )5、n 元非齐次线性方程组AX B =有唯一解的充要条件是().r A n = ( ⨯ )二、填空题（把答案填在括号中。
本大题共4个小题，每小题4分，总计16分）1、已知()f x 是R 上的连续函数，且(3)2,f =则3223212lim 156xx x x f x x x →∞⎛⎫-+⎛⎫-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭（ 62e - ）2、由方程xyz 所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =（dx ） 3、改变二次积分2220(,)y y I dy f x y dx =⎰⎰的次序，则I =（402(,)x dx f x y dy ⎰⎰ ）4、22(sin )tan ,(01)f x x x '=<<，则()f x =（ ln(1)x x C ---+ ）三、求解下列各题（本大题共10小题，每小题6分，总计60分）1、求极限220tan lim.1cos xx x tdtx→-⎰解：22200tan 2tan 22tan limlim 1cos sin xxx x tdtx x x x x →→-=-⎰2002tan 22tan lim lim sin sin x x x x x x x →→-=+ 30042lim lim 4x x x x x x→→-=+= 2、设1sin ,0(),0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩求().f x ' 解：当0x ≠时，2111111()sin cos ()sin cos .f x x x x x x x x'=+-=-当0x =时，001sin()(0)(0)lim lim x x x f x f x f x x →→-'==01limsin x x→=不存在。
3、求不定积分5cos .⎰解：原式2(1sin )sin x x =-⎰24(12sin sin sin x x x =-+⎰159222(sin 2sin sin )sin x x x d x=-+⎰3711222242sin sin sin 3711x x x C =-++ 4、求曲线sin ,2x y x z ==上点(,0,)2ππ处的切线和法平面方程. 解：1cos ,2y x z ''==， (,0,/2)(,0,/2)1|1,|2y z ππππ''=-=， 故切线的方向向量为1(1,1,)2s =-。