高等数学试题及答案
一、单项选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码
填写在题后的括号内。

错选、多选或
未选均无分。

．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数
1ϕ-2(x+1)
(x)=
x-1
，则[]ϕ=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2
ln
ln ln ln x+2x-2x+22-x
．()0
2lim
1cos t
t x
x e e dt
x
-→+-=-⎰（ ）
． ． ．
．∞
．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在
0x x =处可导，则必有（ ）
.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆=
．设函数,1
31,1
x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点
x=1处（ ）
不连续 连续但左、右导数不存在 连续但不可导 可导 ．设C +⎰2
-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ）
2
2
2
2
-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e
二、填空题（本大题共 小题，每空 分，共 分）
请在每小题的空格中填上正确答案。

错
填、不填均无分。

设函数 在区间 ， 上有定义，
则函数
14 1
4
的定义域是 ．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞
+++
+<=
．arctan lim _________x x x
→∞
=
已知某产品产量为 时，总成本是
2g C(g)=9+800
，则生产 件产品时的边际
成本100__g ==MC
函数3()2f x x x =+在区间 ， 上满足拉格朗日中值定理的点ξ是
函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是
微分方程3'1xy y x -=+的通解是
设
2ln 2
,6
a
a π
=
=⎰
则
设
2
cos x
z y
=则
设
{}2(,)01,01y D
D x y x y xe dxdy -=≤≤≤≤=
⎰⎰，则
三、计算题（一）（本大题共 小题，每小题 分，共 分）
设1x
y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，求
求极限0ln cot lim ln x x x
+
→
求不定积分
.
计算定积分 0.⎰
设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数
，求','x y z z 。

四、计算题（二）（本大题共 小题，每
小题 分，共 分）
．要做一个容积为 的圆柱形容器，
问此圆柱形的底面半径 和高 分别为多少时，所用材料最省？ 计算定积分20
sin x xdx π
⎰
将二次积分⎰⎰π
π=0x
2
dy y
y sin
dx I 化为先对 积分的二次积分并计算其值。

五、应用题（本题 分） 已知曲线2y x =，求
（ ）曲线上当 时的切线方程；
（ ）求曲线2
y x
=与此切线及 轴所围成的平面图形的面积，以及其绕
轴旋转而成的旋转体的体积
x
V
六、证明题（本题 分）
．证明：当x>0时
，
ln(1
x x>
参考答案
一、单项选择题（本大题共 小题，每小
题 分，共 分）
．答案：
．答案：
．答案：
．答案：
．答案：
二、填空题（本大题共 小题，每空 分，共 分）
．答案：13
,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．答案：
1a q
- ．答案： ．答案：14
．答案：（ ， ）
．答案：3
12
x Cx -+
．答案：ln 2a =
．答案：21cos sin 2x xdx dy y y ⎛⎫
-+
⎪⎝⎭
．答案：
()21
14
e --
三、计算题（一）（本大题共 小题，每
小题 分，共 分）
答案：()1ln 1x
x dx x ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
．答案：
C 答案：24
a π
答案：2''
x
y z z
22x Z Z 2e 2e
xy z x x -==--，
四、计算题（二）（本大题共 小题，每小题 分，共 分）
．答案：0020V r h r π=== ．答案：
2
4
π
答案：
五、应用题（本题 分） 答案：（ ）y=2x-1（ ）112，30
π
（
）
所
求
面积
()
1
3
12
2
1121
(1
24312
y
S dy y y
⎡⎤
+
==+-=
⎢⎥
⎣⎦
⎰
所求体积
()
12
22
11
1
325630
x
V x dx
πππ
ππ
=-⋅⋅⋅=-=
⎰
六、证明题（本题 分）
．证明：
()ln(1
'()ln(
ln(
ln(
1
'()ln(0
f x x x
f x x
x
x
x
x
f x x
=-
∴=+-
=+
=+
>
∴>
∴=>
故当0
x>时()
f x单调递增，则()(0),
f x f
>即
ln(1
x x>。