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高等数学试题及答案
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)
(x)=x-1
，则[]ϕ=f (x)（ ）
....A B C D x-2x+22-x x+2 ln
ln ln ln x+2x-2x+22-x
2．()0
2lim
1cos t t x
x e e dt
x
-→+-=-⎰（ ）
A ．0
B ．1
C ．-1
D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ）
.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,1
31,1x x x ⎧≤⎨->⎩
22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（
）
A.不连续
B.连续但左、右导数不存在
C.连续但不可导
D. 可导
5．设C +⎰2
-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ）
2222
-x -x -x -x
A.xe
B.-xe
C.2e
D.-2e
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+1
4)+f(x-14
)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞
++++<=L
8．arctan lim _________x x
x
→∞
= 9.已知某产品产量为g
时，总成本是2
g C(g)=9+800
，则
生产100件产品时的边际成本100__g ==MC
10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.
11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.
12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________. 13.
设2ln 2
,6
a
a π
=
=⎰则___________.
14.设2cos x
z y
=则dz=
_______.
15 设
{}2(,)01,01y
D
D x y x y xe
dxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则____________
_.
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
16.设1x
y x ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，求dy.
17.求极限0ln cot lim ln x x x
+
→
18.求不定积分
.
19.计算定积分I=0
.⎰
20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
21．要做一个容积为v 的圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径r 和高h 分别为多少时，所用材料最省？ 22.计算定积分20
sin x xdx π
⎰
23.将二次积分⎰⎰π
π=0x
2
dy y
y sin
dx I 化为先对x 积分的二
次积分并计算其值。
五、应用题（本题9分） 24.已知曲线2y x =，求
（1）曲线上当x=1时的切线方程；
（2）求曲线2y x =与此切线及x 轴所围成的平面图形的面积，以及其绕x 轴旋转而成的旋转体的体积x V .
六、证明题（本题5分）
25．证明：当x>0时
，ln(1x x >
参考答案
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
1．答案：B
2．答案：A 3．答案：A
4．答案：C
5．答案：D
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）
6．答案：13,
44
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
7．答案：
1
a
q
-
8．答案：0
9．答案：1
4
10
11．答案：（1，2）
12．答案：31
2
x
Cx
-+
13．答案：ln2
a=
14．答案：21cos sin 2x xdx dy y y ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
15．答案：()2114
e --
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
16. 答案：()1ln 1x
x dx x ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
17．答案：-1 18
C 19. 答案：2
4
a
π
20.
答案：2'
'
x
y z
z
22x Z Z 2e 2e xy z x x -==--，
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
21
．答案：0020
V r h r π===
22．答案：
2
4
π
23. 答案：1
五、应用题（本题9分） 24. 答案：（1）y=2x-1（2）112，30
π
（
2） 所
求面积
()1
31
2
2001121(124
312y S dy y y ⎡⎤+==+-=⎢⎥⎣⎦⎰ 所求体积()12220111325630
x V x dx πππ
ππ=-⋅⋅⋅=-=⎰
六、证明题（本题5分） 25．证明：
()ln(1
'()ln(
ln(
ln(
1
'()ln(0
f x x x
f x x
x
x
x
x
f x x
=+
∴=++
=+
=
>
∴+>
∴=+>
Q
Q
故当0
x>时()
f x单调递增，则()(0),
f x f
>即
ln(1
x x>。