4. 将补充方程与平衡方程联立求解得：


FN1 FN2

eEA l
1
1 2
EA
，
E3 A3


FN3

eE3 A3 l
1
1 E3 A3

2EA
所得结果为正，说明原先假定杆1,2的装配内力为拉
力和杆3的装配内力为压力是正确的。
载Me和“多余”未知力偶矩MB，如图b；它应满足的位移 相容条件为
BMe
BM B
注：这里指的是两个扭转角的绝对值相等。
33
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：
Mea M Bl GI p GI p
由此求得“多余”未知力，亦即约束力偶矩MB为
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
在基本静定系上加
B
C
D
上原有荷载及“多
1
2
余”未知力
FN3

并使“多余”约束
A
A
处满足变形(位移)
ΔA'
相容条件
A'
ΔA
A
F
FN3
相当系统 (equivalent system)
6
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
B 1
C 2
FN3

第六章 简单的超静定问题
求算FN3需利用位移(变形)相容条件 (图a)
AA AA e
列出补充方程
FN3l3 E3 A3

FN3l1
2 E1 A1cos2

e
(a)
由此可得装配力FN3，亦即杆3中的装配内力为
FN3

l3 E3 A3

e
l1
2 E1 A1cos2
(拉力）
20
材料力学Ⅰ电子教案
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
FN1=2FN3, FN2=2FN1=4FN3
FAx
FN1 FN3 FN2
FAy
F
(b)
5. 将上述二个补充方程与由平衡条件ΣMA=0所得平衡方程
FN1a FN3
1 2
a

FN
2
(2a)

F
(3a)

0
联立求解得
FN3

3 2F 110 2
5. 各杆横截面上的装配应力如下：
1
2

FN1 A

74.53
MPa
（拉应力）
3

FN3 A3
19.51
MPa
25
（压应力）
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
(2) 温度应力 也是由于超静定杆系存在“多余”约束，杆件会因温
度变化产生的变形受到限制而产生温度内力及温度应力。 铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩， 其横截面上会产生相当可观的温度应力。
下端的约束力，并求C截面的位移。杆 的拉压刚度为EA。
解: 1. 有两个未知约束力FA , FB(见图a)， 但只有一个独立的平衡方程
FA+FB-F=0 故为一次超静定问题。
11
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
2. 取固定端B为“多余” 约束。相应的相当系统如图b， 它应满足相容条件ΔBF+ΔBB=0， 参见图c，d。
26
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
例题6-4 试求两端与刚性支承连接的等截面杆(图a) 当温度升高t 时横截面上的温度应力。杆的横截面面积为
A，材料的弹性模量为E，线膨胀系数为l。
(a)
27
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
解: 1. 由平衡方程只能知道杆两端的轴向支约束力数 值相等而指向相反，但不能给出约束力的值，可见这是一 次超静定问题。
21
材料力学Ⅰ电子教案
22
第六章 简单的超静定问题
例题6-3 两端用刚性块连 接在一起的两根相同的钢杆1, 2(图a)，其长度l =200 mm，直 径d =10 mm。试求将长度为 200.11 mm，亦即e=0.11 mm的 铜杆3(图b)装配在与杆1和杆2 对称的位置后(图c)各杆横截面 上的应力。已知：铜杆3的横截 面为20 mm×30 mm的矩形，钢 的弹性模量E=210 GPa，铜的弹 性模量E3=100 GPa。


Fb a l EA

Fab lEA

13
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
例题 求图a所示结构中杆1, 2, 3的内力FN1 , FN2 , FN3。
杆AB为刚性杆，杆1, 2 , 3的拉压刚度均为EA。
E
F
13 2
a
AC
D
B
a
a
aF
(a)
14
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
6. 杆的横截面上的温度应力为


FN A
l Et
29
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题


FN A
l Et
若该杆为钢杆而l =1.2×10-5/(˚C)，E=210GPa，则当
温度升高t =40˚时有
l Et 1.2105 / C 210109 GPa 40 C
3. 补充方程为
Fa FBl 0 EA EA
由此求得
FB

Fa l
所得FB为正值，表示FB的指向
与假设的指向相符，即向上。
12
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
4. 由平衡方程 FA+FB-F=0
得
FA=F-Fa/l=Fb/l。
5. 利用相当系统(如图)求得
ΔC

FAa EA
18
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
(a)
(b)
图a中所示杆系(E1A1=E2A2)中杆3的长度较应有长度 短了e，装配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时，
杆3在结点 A' 处受到装配力FN3作用(图b)，而杆1,2在汇 交点A' 处共同承受与杆3相同的装配力FN3作用(图b)。
19
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
而杆1和杆2中的装配内力利用图b中右侧的图可知为
FN1

FN 2

FN3
2 c os

2
c
os

l3 E3 A3
e

2E1
l1 A1 cos2


压力
至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力(轴力) 除以杆的横截面面积即得。
由此可见，计算超静定杆系(结构)中的装配力和装配 应力的关键,仍在于根据位移(变形)相容条件并利用物理 关系列出补充方程。
100106 Pa 100 MPa （压应力）
30
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
§6-3 扭转超静定问题
例题6-5 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受 扭转力偶矩Me作用，如图a。已知杆的扭转刚度为GIp。试 求杆两端的约束力偶矩以及C截面的扭转角。
(a)
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材料力学Ⅰ电子教案
，FN1

2FN3

6 2F 110 2
，FN2

4FN3

12 2F 110 2
17
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
Ⅱ. 装配应力和温度应力 (1) 装配应力
超静定杆系(结构)由于 存在“多余”约束，因此如 果各杆件在制造时长度不相 匹配，则组装后各杆中将产 生附加内力──装配内力， 以及相应的装配应力。
解：1. 共有五个未知力，如图b所示，但只有三个独 立的静力平衡方程，故为二次超静定问题。
2. 取杆1与结点C处的连接以及杆2与结点D处的连接 为多余约束，得基本静定系如图c。
FAx
FN1 FN3 FN2
FAy
F
(b)
3
C
D
(c)
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材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
3. 相当系统应满足的变形相容条件如图d所示为
材料力学Ⅰ电子教案
第六章 简单的超静定问题
(d)
解：1. 如图d所示有三个未知的装配内力FN1, FN2 , FN3， 但对于平行力系却只有二个独立的平衡方程，故为一次超静定
问题。也许有人认为，根据对称关系可判明FN1=FN2，故未知 内力只有二个，但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡
方程：
Fx 0， FN3 2FN1 0
MB

Mea l


另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为
MA

Me
MB

Me

Mea l

M eb l


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材料力学Ⅰ电子教案 (a)
第六章 简单的超静定问题
4. 杆的AC段横截面上的扭矩为
TAC

M A


M eb l
(4) “多余”约束的选择虽然是任意的，但应以计算 方便为原则。
如上所示连续梁若取B处铰支座为“多余”约束，则
求解比较复杂。
y
q
A
C
Bx
l/2
l/2
q
A
Bx
C