习题九
1. 求函数u=xy2+z3-xyz在点（1，1,2）处沿方向角为的方向导数。

解：
2. 求函数u=xyz在点（5,1,2）处沿从点A（5,1,2）到B（9，4，14）的方向导数。

解：
的方向余弦为
故
3. 求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数。

解：设x轴正向到椭圆内法线方向l的转角为φ，它是第三象限的角，因为
所以在点处切线斜率为
法线斜率为.
于是
∵
∴
4.研究下列函数的极值：
(1)z=x3+y3－3(x2+y2); (2)z=e2x(x+y2+2y);
(3)z=(6x－x2)(4y－y2); (4)z=(x2+y2);
(5)z=xy(a－x－y),a≠0.
解：（1）解方程组
得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).
z xx=6x－6, z xy=0, z yy=6y－6
在点（0，0）处，A=－6，B=0，C=-6，B2－AC=－36<0，且A<0,所以函数有极大值z(0,0)=0.在点（0，2）处，A=－6，B=0，C=6，B2－AC=36>0，所以(0,2)点不是极值点.
在点（2，0）处，A=6，B=0，C=－6，B2－AC=36>0，所以(2,0)点不是极值点.
在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B2－AC=－36<0，且A>0,所以函数有极小值z(2,2)=-8.
(2)解方程组
得驻点为.
在点处,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函数有极小值.
(3) 解方程组
得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).
Z xx=－2(4y-y2),
Z xy=4(3－x)(2－y)
Z yy=－2(6x－x2)
在点（3，2）处，A=－8，B=0，C=－18，B2－AC=－8×18<0,且A<0，所以函数有极大值z(3,2)=36.在点（0，0）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(0,0)点不是极值点.
在点（0，4）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(0,4)不是极值点.
在点（6，0）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(6,0)不是极值点.
在点（6，4）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(6,4)不是极值点.
(4)解方程组
得驻点P0(0,0),及P(x0,y0),其中x02+y02=1，
在点P0处有z=0，而当（x,y）≠(0,0)时，恒有z>0，
故函数z在点P0处取得极小值z=0.
再讨论函数z=u e-u
由，令得u=1,
当u>1时，；当u<1时，,
由此可知，在满足x02+y02=1的点（x0,y0）的邻域内，不论是x2+y2>1或x2+y2<1,均有
.
故函数z在点（x0,y0）取得极大值z=e-1
(5)解方程组
得驻点为
z xx=-2y, z xy=a-2x-2y, z yy=-2x.
故z的黑塞矩阵为
于是
易知H（P1）不定，故P1不是z的极值点，
H（P2）当a<0时正定，故此时P2是z的极小值点，且,
H（P2）当a>0时负定，故此时P2是z的极大值点，且.
5. 设2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0，确定函数z=z(x,y)，研究其极值。

解：由已知方程分别对x,y求导，解得
令解得,
将它们代入原方程，解得.
从而得驻点.
在点（-2，0）处，B2-AC<0，因此函数有极小值z=1.
在点处，B2-AC<0，函数有极大值.
6. 在平面xOy上求一点，使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直线距离的平方之和为最小。

解：设所求点为P(x,y)，P点到x=0的距离为|x|,到y=0的距离为|y|，到直线x+2y-16=0的距离为
距离的平方和为
由
得唯一驻点,因实际问题存在最小值，故点即为所求。

7. 求旋转抛物面z=x2+y2与平面x+y-z=1之间的最短距离。

解：设P（x,y,z）为抛物面上任一点.则点P到平面的距离的平方为,即求其在条件z= x2+y2下的最值。

设F（x,y,z）=
解方程组
得
故所求最短距离为
8. 抛物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。

解：设椭圆上的点为P（x,y,z），则
|OP|2=x2+y2+z2.
因P点在抛物面及平面上，所以约束条件为
z=x2+y2，x+y+z=1
设F（x,y,z）= x2+y2+z2+λ1(z-x2-y2)+λ2(x+y+z-1)
解方程组
得
由题意知，距离|OP|有最大值和最小值，且
.
所以原点到椭圆的最长距离是，最短距离是.
9. 在第I卦限内作椭球面
的切平面,使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标。

解：令
∵
∴椭球面上任一点的切平面方程为
即
切平面在三个坐标轴上的截距分别为，因此切平面与三个坐标面所围的四面体的体积为
即求在约束条件下的最小值，也即求xyz的最大值问题。

设 ,
解方程组
得.
故切点为，此时最小体积为
*10. 设空间有n个点，坐标为,试在xOy面上找一点，使此点与这n个点的距离的平方和最小。

解：设所求点为P（x,y,0），则此点与n个点的距离的平方和为
解方程组
得驻点
又在点处
S xx=2n=A, S xy=0=B, S yy=2n=C
B2-AC=-4n2<0, 且A>0取得最小值.
故在点处，S取得最小值.
即所求点为.
11. 已知平面上分别带有质量m1,m2,m3的三个质点，问点的位置如何才能使该质点系对于p点的转动惯量为最小。

解：该质点系对于p点的转动惯量为
解上式得驻点
因驻点唯一，故转动惯量在点处取得最小值.
*12. 已知过去几年产量和利润的数据如下：
解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设f(x)=ax+b，求的最小值，即求解方程组
把(x i,y i)代入方程组，得
解得a=, b=
即y=当x=120时，y=(千元).
13. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程：
(1)x=a sin2t,y=b sin t cos t,z=c cos2t,点;
(2)x2+y2+z2=6,x+y+z=0,点M0(1,-2,1);
(3)y2=2mx,z2=m-x,点M0(x0,y0,z0).
解：
曲线在点的切向量为
当时，
切线方程为
.
法平面方程为
即 .
（2）联立方程组
它确定了函数y=y(x),z=z(x)，方程组两边对x求导，得
解得
在点M0（1，-2，1）处，
所以切向量为{1，0，-1}.
故切线方程为
法平面方程为
1(x-1)+0(y+2)-1(z-1)=0
即x-z=0.
(3)将方程y2=2mx,z2=m-x两边分别对x求导，得
于是
曲线在点（x0,y0,z0）处的切向量为,故切线方程为
法平面方程为
.
14. t(0<t<2π)为何值时，曲线L：x=t-sin t, y=1-cos t,z=4sin在相应点的切线垂直于平面，并求相应的切线和法平面方程。

解：,
在t处切向量为,
已知平面的法向量为.
且∥,故
解得，相应点的坐标为.且
故切线方程为
法平面方程为
即 .
15. 求下列曲面在给定点的切平面和法线方程：
(1)z=x2+y2,点M0(1,2,5);
(2)z=arctan,点M0(1,1,);
解：（1）
故曲面在点M0(1,2,5)的切平面方程为
z-5=2(x-1)+4(y-2).
即 2x+4y-z=5.
法线方程为
（2）
故曲面在点M0(1,1,)的切平面方程为
z-=-(x-1)+(y-1).
法线方程为
.
16.指出曲面z=xy上何处的法线垂直于平面x-2y+z=6,并求出该点的法线方程与切平面方程。

解：z x=y,z y=x.
曲面法向量为.
已知平面法向量为.
且∥，故有
解得x=2,y=-1,此时，z=-2.
即（2,-1,-2）处曲面的法线垂直于平面，且在该点处的法线方程为
.
切平面方程为
-1(x-2)+2(y+1)-(z+2)=0
即x-2y+z-2=0.
17. 证明：螺旋线x=acost,y=asint,z=bt的切线与z轴形成定角。

证明：
螺旋线的切向量为
.
与z轴同向的单位向量为
两向量的夹角余弦为
为一定值。

故螺旋线的切线与z轴形成定角。

18. 证明：曲面xyz=a3上任一点的切平面与坐标面围成的四面体体积一定。

证明：设F(x,y,z)=xyz-a3.
因为F x=yz,F y=xz,F z=xy,
所以曲面在任一点M0(x0,y0,z0)处的切平面方程为
y0z0(x-x0)+x0z0(y-y0)+x0y0(z-z0)=0.
切平面在x轴，y轴，z轴上的截距分别为3x0,3y0,3z0.因各坐标轴相互垂直，所以切平面与坐标面围成的四面体的体积为
它为一定值。