一般情况下，在每一瞬时，平面图形上 都存在一个速度为零 的点，称为瞬时速 度中心，简称瞬心。
1. 瞬心的求法 设某瞬时，平面图形的角速度为ω，点A
的速度为vA。过A点作AC与速度vA方向 垂直。C点的速度为：
vC v A vCA
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vC v A vCA
dt dt
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8.3 求平面图形各点速度的基点法
点B在静坐标的位置为(x,y)，矢径为rB。点B 在动坐标的位置为(x’,y’)，矢径为r’。
显然：rB=rA+r’。
drB drA dr' dt dt dt vB vA vBA
刚体内任一点的速度等于基点速度以及该点绕 基点转动速度的矢量和。
第8章 刚体的平面运动
8.1 点的运动的相对性 坐标系：
1.静坐标系（定参考系）：固结于地面上的 坐标系。
2.动坐标系（动参考系）：固结于运动刚体 上的坐标系。
运动分类 绝对运动：动点相对于静坐标系的运动。 相对运动：动点相对于动坐标系的运动。
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运动分类 绝对运动：动点相对于静坐标系的运动。 相对运动：动点相对于动坐标系的运动。
l
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用基点法建立A和B的 速度关系。
vB v A vBA
0vBvvA
A sin vBA sin cos vBA cos
vBA
r
cos cos
,
AB
r cos l cos
vB
r sin
r
cos cos
sin
r
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基点O’的速度称为刚体的平移速度，线段O’M 的角速度称为刚体转动的角速度。
定理：平面图形作平面运动时，平面内任何线 段的转动角速度、角加速度都相同。
证明：选O’1为基点，角速度为 选O’2为基点，角速度为
d1
dt
d2
dt
由于 2 1 （为常数）
因此 d1 d2
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加速度分析：对于AB上的两点A和B，有：
aB a A aBt A aBnA aB aBt A sin 30 aBnA cos30 0 aA aBt A cos30 aBnA sin 30
如果vCA=CA. ω =vA，或:
CA vA
则vC =0，C称为速度中心，简称瞬 心。平面图形内任一点的速度，等
于该点绕瞬心转动的速度。
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习题8.1 三角板ABC与摇杆O1A和O2A铰 接， O1A以匀角速度ω1转动，求A和C的 速度。
解：瞬心法：三角板的点A 和B的速度方向已知，作三 角板的瞬心D。三角板绕D 转动的角速度为ω。
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8.5 平面图形内各点的加速度
用基点速度表示任意一点的速度：
vB vA vBA
由此求加速度：
dvB dvA dvBA ， dt dt dt
aB aA aBA
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B点对于A点的相对加速度包括法向 加速度和切向加速度：
aB
aA
a
n BA
sin( ) cos
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瞬心法。设P为瞬心。
vA AB AP, vB AB BP
vA r
l
AP
BP
sin( / 2 ) sin( / 2 ) sin( )
vB
r
BP AP
r
sin( cos
)
AB
vA AP
r cos l cos
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vA O1A1 DA
vC
DC
O1 A DA
DC1
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例8.4 曲柄OA,长度为r，以匀角速度ω转
动，转角为φ= ω t。连杆AB长度为l，求
滑块B的速度以及连杆AB的角速度。
解：基点法。
角度∠ABO可由几何 关系求得：
OAsin ABsin sin r sin
例如，观察圆轮在地面上的滚动。 轮心O’对于静坐标作水平直线运动。 轮心O’对于动坐标来说是静止的。
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8.2 刚体的平面运动
1.刚体的平面运动: 刚体 运动时，如果刚体内任 意一点与某固定平面的 距离始终相等，则这种 刚体运动称为平面运动。
vB vA vBA
vB cos30 vA cos30
vB sin 30 vA sin 30 vBA
vB vA r
v 0, 2020/10/28
BA
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对于轮B： C为瞬心。
vC vB vCB 0 vB vCB
vCB vB r
B
vCB r
aBt A
法向加速度和切向加速度的表达式
为：
aBnA
A
B
2 AB
•
aBt A AB AB
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例8.5曲柄OA长r，以匀角速度ω绕O转动，连 杆AB长l=2r，轮B半径为r，在水平地面上作纯 滚动。求图示位置时，连杆AB以及轮B的角加 速度。
解：速度分析
对于AB上的两点A和B，有：
综上所叙，刚体的平面运动可以用刚体 内某一条线段的平面位置及其方位角来 确定。
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3.刚体平面运动方程：平面图形的平面运 动由基点O’的平动和绕该基点的转动两 部分合成。其一般方程为:
xO' f1(t) yO' f2 (t)
f3(t)
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定理：平面运动任意两点的速度在其 连线的投影值相等。
证明：点A、B的速度关系为：
vB vA vBA
等式两边在AB连线投影。
由于vBA与连线AB垂直， 因此vA 与 vB 。在AB的
投影相等。
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8.4 求平面图形各点速度的瞬心法
刚体作平面运动时，每 一点都在一个平面内运 动，而且这些平面都彼 此平行。
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2.刚体的平面运动的描述方法:
刚体的平面运动可Hale Waihona Puke 刚体内的一个平面 图形的运动来描述。
平面图形运动的表示方法: 平面图形在其 平面内运动时，图形的位置可以由平面 内任意一条直线的位置来确定。