导数的概念及简单应用[小题提速练]
[明晰考情]本内容是高考命题的热点内容．在选择、填空题中，若考查导数的几何意义，难度较小；若考查应用导数研究函数的单调性、极值、最值，一般在选择题、填空题最后的位置，难度较大．
题组一导数的几何意义要点重组(1)函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0
))处的切线的斜率，曲线f(x)
在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0
)．
(2)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同．
1．已知f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋x，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为()A．1B．－1C．0D．－12
答案C解析当x>0时，－x<0，则f(－x)＝ln[－(－x)]－x＝lnx－x，又f(x)为奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝x－lnx.
当x>0时，f′(x)＝1－1x，所以f′(1)＝0，即曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为0.2．(2019·合肥质检)已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex
＋x相切，则实数a的值是()
A.12B．1C．2D．e
答案B解析由题意知y′＝aex＋1＝2，则a>0，x＝－lna，代入y＝aex＋x，得y＝1－lna，所以切线方程为y－(1－lna)＝2(x＋lna)，即y＝2x＋lna＋1＝2x＋1，所以a＝1.3．(2019·全国Ⅰ)曲线y＝3(x2
＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．
答案y＝3x解析因为y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率k＝y′|x＝0
＝3，所以所求的切线方程为y＝3x.4．若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.答案1－ln2解析y＝lnx＋2的切线为y＝1x1
·x＋lnx1＋1(设切点横坐标为x1)．
y＝ln(x＋1)的切线为y＝1x2＋1x＋ln(x2＋1)－x2x2＋1(设切点横坐标为x2)，
∴1x1
＝1x2＋1，
lnx1＋1＝lnx2＋1－x2
x2＋1
，
解得x1＝12，x2＝－12，∴b＝lnx1
＋1＝1－ln2.
题组二导数与函数的单调性要点重组(1)求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0即可．(2)若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来
求解．
5．已知函数f(x)＝－lnx＋12x2
＋5，则其单调递增区间为()
A．(0,1]B．[0,1]C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)答案D解析由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
因为f(x)＝－lnx＋12x2＋5，
所以f′(x)＝－1x＋x＝x2－1x，由f′(x)>0，得x<－1或x>1，又x>0，所以x>1，所以函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．6．已知定义在R上的函数f(x)＝13ax3＋x2
＋ax＋1有三个不同的单调区间，则实数a的取值
范围是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－1,1)D．(－1,0)∪(0,1)答案D解析根据题意，函数f(x)＝13ax3＋x2＋ax＋1，其导函数f′(x)＝ax2＋2x＋a.若函数f(x)＝13ax3
＋x2＋ax＋1有三个不同的单调区间，则f′(x)＝ax2＋2x＋a有2个不同零点，则有Δ＝4－4a2>0，且a≠0，可得－1
7．已知f(x)＝(x2＋2ax)lnx－12x2
－2ax在(0，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是()
A．{1}B．{－1}C．(0,1]D．[－1,0)答案B解析因为f′(x)＝2(x＋a)lnx，所以f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，当x＝1时，f′(x)＝0满足题意；当x>1时，lnx>0，要使f′(x)≥0恒成立，只需x＋a≥0恒成立，因为x＋a>1＋a，所以1＋a≥0，解得a≥－1；当0因为x＋a<1＋a，所以1＋a≤0，解得a≤－1，综上所述，a＝－1.8．(2019·衡水中学调研)已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)内的偶函数f(x)满足：当x>0时，xf(x)
＋x2f′(x)－1＝0，且f(e)＝1e，则不等式f(x)＋ln4>0的解集为()
A.－12，0∪
0，
1
2
B.－∞，－12∪12，＋∞
C．(－e,0)∪(0，e)D．(－∞，－e)∪(e，＋∞)答案B解析当x>0时，xf(x)＋x2f′(x)－1＝0，
故f(x)＋xf′(x)＝1x，
故[xf(x)]′＝1x，故可设xf(x)＝lnx＋c，因为f(e)＝1e，所以c＝0，故f(x)＝lnxx，则f′(x)＝1－lnxx2，所以当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
又f(x)为偶函数，f12＝－ln4且当x→＋∞时，f(x)>0，
所以不等式f(x)＋ln4>0的解集为－∞，－12∪12，＋∞.
题组三导数与函数的极值、最值要点重组(1)求函数f(x)的极值，需先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号．(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．(3)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较，得到函数的最值．
9．(2017·全国Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1
的极值点，则f(x)的极小值为()
A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1
答案A解析函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1
＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．由x＝－2是函数f(x)的极值点，得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3
＝0，
所以a＝－1.所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex
－1·(x2
＋x－2)．
由ex－1＞0恒成立，得当x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.所以x＝1是函数f(x)的极小值点．所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.10．已知函数f(x)＝lnx＋2ex2，g(x)＝x3
＋kx(k∈R)，若函数y＝f(x)－g(x)只有1个零点，则
函数g(x)在[0，e]上的最大值为()A．0B．e3
＋1
C．2e3＋1eD．2e3
＋1
答案D解析由题意可知方程lnx＋2ex2＝x3＋kx只有1个实数根，因为x>0，所以lnxx＋2ex－x2＝k.
令h(x)＝lnxx＋2ex－x2，则h′(x)＝1－lnxx2＋2e－2x＝1－lnxx2＋2(e－x)，令h′(x)＝0，解得x＝e，故当x∈(0，e)时，h′(x)>0，当x∈(e，＋∞)时，h′(x)<0，
所以h(x)max＝h(e)＝1e＋e2，
又方程lnxx＋2ex－x2＝k只有1个实数根，所以函数h(x)的图象与直线y＝k只有1个交点，所以1e＋e2＝k，
故g(x)＝x3＋1e＋e2
x，
g′(x)＝3x2＋1e＋e2
>0，
故函数g(x)在[0，e]上是增函数，g(x)max＝g(e)＝2e
3
＋1.
11．(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．
答案－332
解析f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1)＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cosx－1)(cosx＋1)．∵cosx＋1≥0，∴当cosx＜12时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当cosx＞12时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，∴当cosx＝12时，f(x)有最小值．又f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，∴当sinx＝－32时，f(x)有最小值，
即f(x)min
＝2×－32×1＋12＝－332.