导数及其应用一．导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆例一：若2012)1(/=f ，则x f x f x ∆-∆+→∆)1()1(lim= ，xf x f x ∆--∆+→∆)1()1(lim 0= ，x x f f x ∆∆+-→∆4)1()1(lim0= ， xf x f x ∆-∆+→∆)1()21(lim 0= 。
二.导数的计算1）基本初等函数的导数公式:2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln xf x a a '=6 若()xf x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1．[f(x)±g(x)]′＝f ′(x)±g ′(x)；2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•一、知识自测：1、几个常用函数的导数：（1）f(x)=C ，则f ’(x)=_______ （2）f(x)=x ，则f ’(x)=_______ （3）f(x)=2x ，则f ’(x)=_______ （4）f(x)=x1，则f’(x)=_______ （5）f(x)=x ，则f ’(x)=_______2、基本初等函数的导数公式：（1）f(x)=C （C 为常数），则f ’(x)=_______ （2）f(x)=)(Q a x a∈，则f ’(x)=_______（3）f(x)=sinx ，则f ’(x)=_______ （4）f(x)=cosx ，则f ’(x)=_______ （5）f(x)=x a ，则f ’(x)=_______ （6）f(x)=xe ，则f ’(x)=_______ （7）f(x)=x a log ，则f ’(x)=_______ （8）f(x)=x ln ，则f ’(x)=_______ 3、导数的运算法则：已知)(),(x g x f 的导数存在，则：（1）_______________])()([='±x g x f （2）__________________])()([='⋅x g x f （3）='])()([x g x f ____________________二、典型例题xy x y xy xy y x y cos )6(log )5(ln )4(1)3(5)2()1(125======、求下列函数的导数例 555)4(5)3(1)2()1(1e y y xy x y x ====、求下列函数的导数：例3、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+ （2）y =；（3）sin ln y x x x =⋅⋅；（4）4xx y =； （5）1ln 1ln xy x-=+．（6）2(251)xy x x e =-+⋅； （7）sin cos cos sin x x xy x x x-=+解：（1）'3'3'''2(23)()(2)(3)32y x x x x x =-+=-+=-，'232y x =-。
（2）'''y =-===222(1(1(1)x+=-2(1(1)xx x+=-'y=（3）'''(sin ln)[(ln)sin]y x x x x x x=⋅⋅=⋅⋅''(ln)sin(ln)(sin)x x x x x x=⋅⋅+⋅⋅1(1ln)sin(ln)cosx x x x x xx=⋅+⋅⋅+⋅⋅sin ln sin ln cosx x x x x x=+⋅+⋅⋅'sin ln sin ln cosy x x x x x x=+⋅+⋅⋅（4）''''224(4)144ln41ln4()4(4)(4)4x x x xx x x xx x x x xy⋅-⋅⋅-⋅-====，'1ln44xxy-=。
（5）''''2211ln212()(1)2()21ln1ln1ln(1ln)(1ln)x xyx x x x x x-==-+==⋅=+++++'22(1ln)yx x=+（6）'2'2'(251)(251)()x xy x x e x x e=-+⋅+-+⋅22(45)(251)(24)x x xx e x x e x x e=-⋅+-+⋅=--⋅，'2(24)xy x x e=--⋅。
（7）''sin cos()cos sinx x xyx x x-=+''2(sin cos)(cos sin)(sin cos)(cos sin)(cos sin)x x x x x x x x x x x xx x x-⋅+--⋅+=+2(cos cos sin)(cos sin)(sin cos)(sin sin s)(cos sin)x x x x x x x x x x x x xco xx x x-+⋅+--⋅-++=+2sin(cos sin)(sin cos)s(cos sin)x x x x x x x x xco xx x x⋅+--⋅=+22(cos sin )x x x x =+ 1、x x x y sin 32-= 2、x e y x ln = 3、x x xy 21ln -+=(1) xx y 2sin ln = （2）)32(sin 2π+=x y （3）3223++=x xy（4）4)31(1x y -=（5）21x x y += （6）)132(log 22++=x x y四．课堂练习1、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数f (x )=x 3-2x +3的导数。
2、求下列函数的导数：x x y sin 13+=）（ 3)2(24+--=x x x y 4532323-+-=x x x y ）（ )23)(32()4(2-+=x x yxxy x x y cos sin 6sin 52==）（）（ 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下＇关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.Ps ：二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。
一般的，函数y=f （x ）的2.函数的极值（局部概念）与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;(3) 若f ＇（x ）=0，则在该点函数不增不减，可能为极值，也可能就为一过渡点。
4.函数的最大(小)值与导数 函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.可导奇函数的导函数的是偶函数 可导偶函数的导函数的是奇函数III. 求导的常见方法：① 常用结论：xx 1|)|(ln '=.②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代数和形式.② 无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导可得x x x x x y y x y y xx x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1ln '''.利用导数研究函数的图象1． f （x ）的导函数)(/x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ D ）（A ） （B ） （C ） （D ） 2．函数的图像为14313+-=x x y ( A )3．方程内根的个数为在)2,0(076223=+-x x ( B )A 、0B 、1C 、2D 、3专题8：导数（文）经典例题剖析考点一：求导公式。