高中数学选修2----2 知识点第一章导数及其应用一．导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数y f ( x) 在x x0处的瞬时变化率是lim f ( x0x)f ( x)，x0x我们称它为函数y f ( x) 在x x0处的导数，记作 f ( x0 ) 或 y |x x，即f (x0 ) =lim f ( x0x) f (x0 )x 0x2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像 ,我们可以看出当点P n趋近于P时，直线PT与曲线相切。

容易知道，割线 PP n的斜率是k n f ( x n )f ( x)，当点 P n趋近于P时，函数y f ( x) 在x x0处的导x n x0数就是切线 PT 的斜率 k，即kf (x n ) f ( x0)lim f ( x0 ) x 0x n x03.导函数：当 x变化时， f ( x) 便是x的一个函数，我们称它为 f (x) 的导函数.y f ( x) 的导函数有时也记作 y ,即 f ( x)lim f ( x x) f ( x)x 0x二 .导数的计算1）基本初等函数的导数公式:2若 f ( x)x ,则 f (x)x 1 ;3若 f ( x)sin x ,则 f(x)cos x4若 f ( x)cos x ,则 f(x)sin x ;5若6若f ( x) a x,则 f ( x) a x ln a f ( x)e x,则 f ( x) e x7若 f ( x)log a x,则f ( x)1x ln a8若 f ( x)ln x ,则 f ( x)1 x2）导数的运算法则2.[ f (x)g( x)] f ( x)g( x) f ( x) g (x)3.[ f ( x) ]f(x) g( x) f ( x) g (x)g (x)[ g (x)] 23）复合函数求导y f (u)和u g( x) ,可以表示成为x, y f (g ( x))为一个复合函数称则 y的函数即y f ( g( x))g ( x)三 .导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数 :一般的 ,函数的单调性与其导数的正负有如下＇关系：在某个区间 (a,b) 内，如果 f(x) 0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间单调递增；如果 f ( x)0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间单调递减.Ps：二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。

一般的，函数y=f（x）的导数y＇ =f ＇（ x）仍然是 x 的函数，则 y＇ =f ＇（ x）的导数叫做函数 y=f （x）的二阶导数。

几何意义（1）切线斜率变化的速度（2）函数的凹凸性（例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧）2.函数的极值（局部概念）与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数 y f ( x) 的极值的方法是:(1)如果在 x0附近的左侧 f ( x)0 ,右侧 f (x)0 ,那么f ( x0)是极大值;(2)如果在 x0附近的左侧 f ( x)0 ,右侧 f (x)0 ,那么f ( x0)是极小值;(3)若 f ＇（ x）=0，则在该点函数不增不减，可能为极值，也可能就为一过渡点。

4.函数的最大 (小 )值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数 y f ( x)在 [ a,b] 上的最大值与最小值的步骤（ 1）求函数 y f ( x) 在 (a, b) 内的极值；（ 2）将函数 y f (x) 的各极值与端点处的函数值 f ( a) ， f (b) 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值 .可导奇函数的导函数的是偶函数可导偶函数的导函数的是奇函数III.求导的常见方法：① 常用结论： (ln | x |) ' 1 .x②形如 y(x a 1 )( x a 2 )...( x a n ) 或 y( x a 1 )( x a 2 )...( x a n ) 两边同取自然对数，可转化求代数和( xb )( x b )...( xb )12n形式 .③无理函数或形如 yx x 这类函数，如 yx x 取自然对数之后可变形为ln y x ln x ，对两边求导可得y '1 'y ln x y y' xxxln x xyln x x .yx导数中的切线问题1：已知切点，求曲线的切线方程 2：已知斜率，求曲线的切线方程3：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．4：已知过曲线外一点，求切线方程y f ( x )1. 函数 f (x) 的定义域为开区间(3,3) ，导函数 f ( x) 在( 3,3) 内的图象如图所示，则函数2f ( x) 的单调增区间是2_____________y2. 如图为函数 f ( x) ax 3 bx 2 cx d 的图象， f '(x) 为函数 f ( x) 的导函数，则不等式 x f '( x)0 的解集为 _____ _- 3 o3x3. 若函数f ( x) x 2bx c 的图象的顶点在第四象限，则其导函数f '( x) 的图象是（）4.函数 y f (x) 的图象过原点且它的导函数f '( x) 的图象是如图所示的一条直线，则 yf (x) 图象的顶点在（）A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D ．第四象限yf (x )5. 定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (4) 1． f ( x) 为 f( x) 的导函 y数 ，已知函数y f (x) 的图象如右图所示 . 若两正数a, b 满足f (2ab) 1 ，则b2的取值范围是（）Oxa2A ． (1, 1)B ． (,1) 3, C ．(1, 3)D ． (, 3)3 2225. （2008 年福建卷12) 已知函数 y=f(x),y=g(x) 的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是（）6. 函数 f ( x)ln x1 x2 的图象大致是 （）2yyyyOxOxOxOxA ．B ．C ．D ．7.设 f ' (x) 是函数 f ( x) 的导函数，将 yf ( x) 和 y f ' (x) 的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A ．B ．C ．D ．8.如右图所示是某一容 器的三视图，现向容器中匀速注水， 容器中水面的高度 h随时间 t 变化的可能图象是（）h h h h正 视图侧 视图O t O t O t O t俯 视图幸福，不能用手去捉摸，只能用心去琢磨，只能静静去体味。

细细地品味了，你就享受到了它温馨的暖，或浓或淡的甜！幸福，其实很简单。

幸福就是和爱人一起漫步，幸福就是吃到妈妈的拿手饭菜，幸福就是孩子在你的脚跟前转悠，幸福就是你能帮父母洗衣洗碗。

幸福，其实很简单。

拥有一份称心的工作，就是一种幸福；拥有一个温馨的家，就是一种幸福；拥有一位知心的朋友，就是一种幸福；拥有一份好的心态，就是一种幸福；拥有一个相濡以沫的爱人，那更是一种幸福。

幸福就是如此的平平凡凡，幸福就是这样的简简单单。

幸福，其实就是自己心灵的感觉，沉淀在自己的心底，看不见摸不着，没有那么直观，可那种体验与享受却很真实、很直接。

或许你没有丰富的物质，或许你不能掌控自己的名利，但只要你拥有一份良好的心情，幸福就会围着你转。

幸福，其实很简单。

幸福就是口渴时的那杯水，幸福就是饥饿时的那顿饭，幸福就是劳累时的歇歇脚，幸福就是闲暇时的那茶盏，幸福就是困倦时的那场眠，幸福就是相爱的人彼此的牵挂，幸福就是离别的人默默的思念！幸福，其实很简单。

幸福就是平静的呼吸，仔细的聆听，忘情的观看；幸福就是有人爱，有事做，有所期待，有人给温暖；幸福就是不迷茫，不慌乱，生而无悔，活而无憾。

幸福，其实就在路上，走一步，有一步的风景；进一步，有一步的欣喜；退一步，有一步的心境；停下步，忆往事，感到舒心的甜。

幸福，其实很简单。

当你失落，当你伤心，当你落泪时，有人会走到你身边给你一个拥抱，让你不再心酸，让你顿生温暖。

幸福似一杯香茗，轻饮慢品里，溢出的却是淡淡的清香，沁人心脾，惬意而舒心；幸福似一杯红酒，无论酒的种类是什么，用心细品里，总能品出那缕浓浓的甘醇柔绵；幸福没有明天，幸福也没有昨天，它不怀念过去，也不向往未来，它只在乎眼前。

幸福，其实很简单。

别人的幸福在你的眼里，你羡慕甚至嫉妒；可你的幸福也在别人眼里，你如果不觉得，岂不遗憾？。