§4.1 非线性方程组求解的增量法
基本思路：分段线性化，将荷载分成很多小步，逐步施加。
增量法也称为显式求解法。增量法将荷载分成若干增量，每次施加一个荷载增量；假设每一个荷载增量段内（截面或结构）刚度矩阵是常量（线性的）；在不同荷载增量段内（截面或结构）刚度可以变化，与当时应力-应变关系（或位移状态）相对应。增量法实质上是用一系列线性解去逼近非线性问题，即用分段线性折线替代非线性曲线。
（3）计算不平衡力 ；
（4）计算位移增量值 ；
（5）计算新的位移值 以及相应的结点力 ；
（6）重复步骤（3）~（5），直至满足收敛条件。
§4.3混合法（增量迭代法）
将增量法与迭代法混合 -- 增量切线刚度迭代法或增量等刚度迭代法。
（1）增量切线刚度迭代法
图4-6a增量切线迭代法
（2）增量等刚度迭代法
…
与 充分接近为止.
特点：
（1）根据前一次迭代的位移计算割线刚度，进行LDLT分解，计算新的位移值 ；
（2）计算结果稳定性好；
（3）收敛速度较慢；
计算步骤：
（1）令 =0，计算初始割线刚度 ；
（2）进行LDLT分解，根据施加的荷载，计算位移值 ；
（3）根据 计算截面应变平面，计算相应的割线刚度；
（4）重复（2）、（3）步，直至满足收敛条件。
增量法把荷载划分成许多荷载增量，增量的值可以相等，也可以不等。
具体操作方法：压弯构件截面平衡方程的增量矩阵表达式，
或
或
式中， ——截面增量应变平面； ——截面力增量；
—截面应变平面的变化而变化。
用截面平衡方程的增量形式 说明增量法的过程。因为非线性问题截面刚度 是应变平面 的函数。反过来，当前的截面应变平面 又是过去许多 的总和。当前的 称为切线刚度，用来计算下一步的 。然后修改 ，再修改 ，并准备作下一步计算。这样，就用一系列直线段近似的描述了截面力与应变平面的关系曲线。因此，非线性分析以线性分析理论为基础。
图4-2 中点刚度法
第n级荷载增量施加后产生的位移为：
§4.2迭代法
§4.2.1割线刚度法
对于材料非线性或几何非线性问题，截面（单元）刚度是应变或应力的函数。而单元应力、应变是位移的函数。每次施加全部荷载，通过迭代求解位移或应变逐步修改刚度矩阵，用数值逼近方法得到满足精度要求的位移。
图4-3割线刚度法
—为第i次迭代结束时与内力相平衡的节点力向量，静力分析时 ；
--收敛系数，取为0.001~0.01.
为某种范数，可取欧几里得范数。
（2）位移增量：
式中，w—迭代过程中位移增量，w—总位移。
(3)能量基的收敛条件：能力准则是同时控制力和位移，使它们处于平衡，有两种比较方法：一是把每次迭代时不平衡力在位移增量上做的功（内能的增量）与本荷载增量段的初始内能比较：
§4.2.2切线刚度法 （Newton-Raphson method）
图4-4切线刚度法
不平衡力：
…
截面力：
与 充分接近为止.
特点：
（1）每次迭代都须计算刚度并进行LDLT分解；
（2）驻值点处矩阵奇异；
（3）收敛速度快。
计算步骤：
（1）令初始位移 =0，计算初始切线刚度 ，根据荷载 ，计算位移值 1及相应的结点力 ；
4.1.1直接增量法(尤拉折线法)
用多段折线模拟曲线。
设荷载为m级增量，
第i级荷载增量产生位移增量：
第n级荷载增量施加后产生的位移为：
第n级荷载增量对应的刚度矩阵：
则，计算公式为，
图4-1 直接增量法
全过程分析计算步骤：
（1）选定第一级荷载增量P1=P/20；i=1, j=0.
（2）计算切线刚度矩阵Di-1
第四章 非线性有限元方程的解法
结构分析问题转化为代数方程组，线性静力问题化为线性代数方程组，非线性静力问题化为非线性方程组。线性代数方程组的解法有高斯消去法、三角分解法、
非线性问题多种多样，但计算方法大同小异，无论材料非线性问题还是几何非线性问题，经过离散后，都归结为解一个非线性方程组。本章以截面非线性分析为例，说明如何求解非线性方程问题。
式中，
另一个是将内能增量与当前的总能量相比较，
迭代过程中，当位移增量较小而不平衡力较大时，位移增量模式无法满足要求，而当当不平衡力较小而位移增量较大时，不平衡力模式也无法满足要求，此时使用能量模式能较好的控制收敛条件。
§4.2.3等刚度迭代法（Modyfied Newton-Raphson method）
图4-5等刚度法
…
与 充分接近为止.
特点：
（1）只须计算一次刚度，进行一次LDLT分解；
（2）收敛速度慢。
计算步骤：
（1）令初始位移 =0，计算初始刚度 ；
（2）进行LDLT分解，根据施加的荷载 ，计算位移值 1及相应的结点力 ；
图4-6b 增量等刚度迭代法
§4.4迭代的收敛条件
非线性方程组的求解一般采用迭代过程，运用迭代法必然存在两次迭代间满足什么样的条件可以终止迭代的问题，下面介绍几个常用的准则：
收敛条件取决于迭代方法，通常取不平衡力、位移增量、能量基的增量等。
（1）不平衡力： ；
式中， —是不平衡力矢量；
—施加的外力参照量；
（2）计算不平衡力 ；
（3）根据位移值计算相应的切线刚度 ；
（4）进行LDLT分解，计算位移增量值 ；
（5）计算新的位移值 以及相应的力 ；
（6）重复步骤（2）~（5），直至满足收敛条件。
切线刚度法的解释：假设荷载-位移的函数关系为 ，已经求解得到与荷载 对应的位移 ，设荷载增加到 ，现在要求出与相应的位移 。将 在 处用泰勒级数展开，截到一阶导数，为， ，现在有 ，且 为A点的切线刚度，要求出 使得 ，因此， 。
对于应力-应变关系为线性关系的问题，截面（单元）刚度是常量。当混凝土、钢筋材料的应力-应变关系为非线性时，截面（单元）刚度矩阵不是常数，而与截面应变平面值有关，记为 。此时，截面平衡方程是非线性方程组： 。求解非线性问题的方法可分为3类：增量法（显式求解）、迭代法（隐式求解法或全量迭代法）、混合法（增量迭代法）。
（3）计算位移增量 ；
（4）判断是否收敛；否——转到(6)；
（5）i=i+1,Pi=Pi-1, 回到(2);
（6）Pi=Pi/2, j=j+1, 如果j>2, 结束; 否则转到(3)
特点：
（1）每个荷载增量段都须计算刚度并进行LDLT分解；
（2）误差逐步累积；
（3）减小步长可以提高精度；
4.1.2中点刚度法（修正的尤拉折线法）