L 1L 为一个对角阵，使L得以很好的确定。
样本总方差
归因于第 个j =
因子的比例
lˆ12j lˆ22j s11 s22
lˆp2j s pp
*因子旋转
为什么要旋转因子？ 建立因子分析模型的目的不仅是找出公共因子，
更重要的是知道每个公共因子的意义，以便对实际问 题进行分析。如果求出因子解后，各个因子的典型代 表变量不很突出，还需要进行因子旋转，通过适当的 旋转得到比较满意的公共因子。
假设公共因子F和特殊因子 是正态分布的，则可以根
据极大似然的思想得到因子载荷和特殊方差的极大似然 估计。
当 Fj 和 j 是联合正态时，观测值 X j LFj j
就是正态的。它通过 LL 依赖于 L 和 。
**正因为正交变化而使 Lˆ 的多重选择成为可能，仍然不
能很好的确定这个模型。施加可方便计算的唯一性条件
因子分析的思想和目的：
把每个研究变量分解为几个影响因素变量，将每个 原始变量分解成两部分因素，一部分是由所有变量 共同具有的少数几个公共因子组成的，另一部分是 每个变量独自具有的因素，即特殊因子。
因子分析的目的之一，简化变量维数。即要使因素 结构简单化，希望以公共因子，能对总信息量作最 大的解释，因而抽取得因子愈少愈好，但抽取因子 的累积解释的信息量愈大愈好。
利用谱分解，令 有特征值-特征向量 i,ei ，且
1 2 p 0 则
1e1e1 2e2e2
p
ep
e
p
=
1 e1 2 e2
p
ep
1 e1
2 e2
p ep
令 m p是公共因子的个数，则所估计的因子载荷矩
阵 l为ij
L [ ˆ1eˆ1 ˆ2 eˆ2
ˆm eˆm ]
所估计的特殊方差由 S LL的 对角元得出，故
m
V (第j个因子（标度变换后）载荷平方的方差) i 1
尽可能地大，就是要使因子载荷矩阵中因子载荷的平方值 向0和1两个方向分化，使大的载荷更大，小的载荷更小。
因子得分估计的方法
加权最小二乘法
用误差的方差的倒数作权系数，其误差平方的加权和
1 0
0
2
0
0
0
0
p
m
i Sii
l
2 ij
j 1
共性方差估计值为hi2
li12
li
2 2
lim2
怎样选择因子个数？
对主成分解，当因子个数增加时，一个已知的估计载 荷并不变，
当 m 时1，
L
，ˆ1
eˆ1
使模当型中m的公时2 共，因子L 个 数 一ˆ1直eˆ1增, 加ˆ2，eˆ2直 到已经被解释
cov Xi , X j lij
几个重要统计量的意义：
（1）因子载荷----是指因子结构中原始变量与因子分析 时抽取出的公共因子的相关程度
反映了第i个原始变量在第j个公共因子上的相对重要
性。因此 lij 绝对值越大，则公共因子Fj与原有变量 X i 的关
系越强。
（2）共性方差----就是变量与每个公共因子之负荷量的平
的样本总方差有一个“适当的比例”为止。
l
来自第一个因子对样本总方差 Sii
于
l121 l221
l
2 p1
ˆ1 eˆ1
的贡献为 2 ，又由
i1
ˆ1 eˆ1 ˆ1
样本总方差 归因于第i个 =
ˆi 对S的因子分析
s11 s22 s pp
因子的比例
ˆi
对R的因子分析
p
（2）极大似然法
因子分析
FACTOR ANALYSIS
毛宁，仝霄，胡婷婷
引言
因子分析是主成分分析的推广，也是利用降维的思 想。
因子分析法是从研究变量内部相关的依赖关系出发， 把一些具有错综复杂关系的变量归结为少数几个综 合因子的一种多变量统计分析方法。
它的基本思想是将观测变量进行分类，将相关性较 高，即联系比较紧密的分在同一类中，而不同类变 量之间的相关性则较低，那么每一类变量实际上就 代表了一个基本结构，即公共因子。
按旋转后所得新因子是否两两正交(不相关)，分 为正交因子旋转和斜交因子旋转。实际应用中，多用 正交因子旋转。
*正交因子旋转
由初始载荷矩阵L右乘一正交矩阵得到；目的是新的载荷 系数尽可能的接近于0或尽可能的远离0；只是在旋转后的 新的公因子仍保持独立性。最常用的方法是最大方差正交 旋转法（Varimax），即选正交变换T使
Fi和Fj不相关，当i j时；且方差为1
1
Hale Waihona Puke （3）E 0 Cov( )
2
p
正交因子模型的特征
正交因子模型的协方差结构
（1） 或
Cov
X
LL
Var Xi li12 lim2 i
（2） 或
Cov Xi, Xk li1lk1 limlkm
Cov X , F L
因子分析的基本理论
❖ 例：在企业形象或品牌形象的研究中，消费者可以通过一 个有24个指标构成的评价体系，评价百货商场的24个方面 的优劣。
❖ 但消费者主要关心的是三个方面，即商店的环境、商店的 服务和商品的价格。因子分析方法可以通过24个变量，找 出反映商店环境、商店服务水平和商品价格的三个潜在的 因子，对商店进行综合评价。而这三个公共因子可以表示 为：
写成矩阵的形式 X L F
( p1)
( pm) (m1) ( p1)
称 F1, F2,为,公Fm共因子，是不可观测的变量，他们的系数
称为因子载荷。 子包含的部分。
是特殊i因子，是不能被前m个公共因
满足下列条件的因子模型称为正交因子模型。
（1） Cov(F, ) 0,即 F，独立
（2） E F 0,CovF I
xi i i1F1 i2F2 i3F3 i
❖ 称 F1、F2、F3 是不可观测的潜在因子,称为公共因子。24个 变量共享这三个因子，但是每个变量又有自己的个性，不
被包含的部分， i 称为特殊因子。
因子分析模型：
对于有p个指标的随机变量X，有均值 和协方差矩阵
Xi i li1F1 li2F2 limFm i (m p)
方总和（一行中所有因素负荷量的平方和）。
m
hi 2
li2j
j 1
ii hi2 i
这里，Var Xi ii ， hi 2是第i个共性方差，是由m个
公共因子贡献第i个变量的方差部分， i 是特殊方差。
故从共同方差的大小可以判断这个原始变量与公共因子间之 关系程度。
因子载荷的估计方法
（1）主成分方法