yx
dAsinα
y
t
Ft 0
dA xy(dAcos ) cos x (dAcos )sin yx(dAsin )sin y (dAsin ) cos 0
{ 利用三角函数公式
cos2 1 (1 cos 2 )
2
sin2 1 (1 cos 2 )
2
2sin cos sin2
y
y
n
yx
H
xy
x
x
D/
(y ,yx)
H ( a , a )
2 D (x ,xy)
c
x y
2
§7.4 1.定义
三向应力状态
2
1
3
三个主应力都不为零的应力状态。
2
1
0 3
2
3
由三向应力圆可以看出：
max
1
3
2
结论：
代表单元体任意斜 1 截面上应力的点，
必定在三个应力圆
圆周上或圆内。
§7.5 广义胡克定律
强度条件： 五、莫尔强度理论
莫尔准则：
强度条件：
r2 1 2 3
❖ 强度设计准则的应用
➢1. 分析计算危险点的应力 ➢2. 计算主应力 ➢3. 选择适当的失效判据并计算相当应力 ➢4. 应用强度设计准则进行计算
❖强度校核 ❖截面设计 ❖确定许用载荷
本章小结
❖ 应力状态的概念 ❖ 用解析法分析二向应力状态 ❖ 用图解法分析二向应力状态 ❖ 三向应力状态 ❖ 广义胡克定律 ❖ 五种强度理论
x
2
y
(
x
y
)2
2 xy
2
68.3MPa
x
m in
x
2
y
(
x
y
)2
2 xy
2
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
y
主平面的方位：
xy x
tan
20
2 xy x
y
60 0.6 60 40
0 15.5 ,
代入 表达式可知
0 15.5 90 105.5
关于屈服的强度理论： 最大切应力理论和形状改变比能理论
❖ 强度设计准则
一、最大拉应力理论（第一强度理论） 断裂准则： 强度条件：
二、最大伸长线应变理论（第二强度理论） 断裂准则：
强度条件： 1 2 3
三、最大切应力理论（第三强度理论） 屈服准则： 强度条件：
四、畸变能密度理论（第四强度理论） 屈服准则：
q
τy
1 2
τx
3 4
σx
5
应力公式中， x x , y 0 , xy x
τx σx
τy
x
2
x
2
cos 2
x
sin 2
x
2
sin 2
x
cos 2
tan
20
2 x x
max
min
x
2
x
2
2
2 x
max
min
x
2
2
2 x
梁横截面上的应力
q
1
1
2
3
2
4
5
3
1点
σx
σx
4
5点
20MPa
20MPa
63.3MPa 80.78o
63.3MPa
-9.22o
§7.3 二向应力状态分析——图解法
1. 应力圆：
R C
R
(
x
y
)2
2 xy
2
x y
2
2.应力圆的画法
y y
yx
D xy x
A x
D/
(y ,yx)
R
(
x
y
)2
2 xy
2
R
D (x ,xy)
c
x y
2
3、对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着 微元某一截面上的正应力和切应力
到斜截面外法线时为正；反 之为负。
3. 正应力极值和方向
确定正应力极值
1 2
(
x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
xy
sin
2
d d
( x
y ) sin 2 2 xy cos 2
设α＝α0 时，上式值为零，即
( x y ) sin 20 2 xy cos 20 0 代入切应力公式：
例7.2 由梁内某点处截取的应力单元体如图所示，已知σx=40MPa，
τx=- τy=- 60MPa。试求：⑴该单元体45o斜截面上的应力；⑵主应力数值及 其作用平面的方位，画出主应力单元体；⑶最大切应力数值及其作用平面方
位，画最大切应力单元体。
τy σx
τx σx
解：2. 计算主应力
35.8o 83.3MPa
2 xy
应力圆的画法
y y yx
D xy
A x
max
1
3
2
x
D/
(y ,yx)
R 1 3
2
R
D (x ,xy)
c
1 3
2
作业
❖P253 习题
❖7.3（d） ❖7.4（d）
❖7.8
x
y
2
4
2 xy
主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3
例7.1 一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa, 30。
试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
y xy
x
解：（1） 斜面上的应力
xy
yx
y
y
1 E
y
z
x
lT
z
1 E
z
x
y
lT
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
§7.6 弹性应变能
❖ 弹性应变能
❖ 应变能密度
W V
dV dV
V V dV
❖ 应变能密度的分解
➢ 体积改变能密度
➢ 畸变能密度（形状改变密度）
§7.7 强度理论的概述
1. 杆件基本变形下的强度条件
1. 基本变形时的胡克定律
1）轴向拉压胡克定律
x E x
横向变形
y x
x
E
2）纯剪切胡克定律
G
y
x x
2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法
2
2
1
1
3
1
1
E
2
E
1
1 E
1
2
3
3
3
E
2
1
1 E
1
2
3
3
1
2
1 E
2
3
1
3
1 E
3
1
2
3、广义胡克定律的一般形式
x
1 E
[ x
第七章 应力和应变分析 强度理论
应力状态的概念 用解析法分析二向应力状态 用图解法分析二向应力状态 三向应力状态 广义胡克定律 四种强度理论 莫尔强度理论
§7.1
1、问题的提出 铸铁
应力状态的概念
低碳钢
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
§7.1 应力状态的概念
低碳钢
铸铁
脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？
（拉压）
max
FN ,max A
[ ]
（弯曲）
max
Mmax W
[ ]
（弯曲）
max
Fs
S
* z
bIz
[ ]
（扭转） max
T Wp
[ ]
（正应力强度条件）
max [ ]
（切应力强度条件）
max [ ]
max max
满足
max [ ] max [ ]
是否强度就没有问题了？
2(
σx
σy 2
) s
i
n
2α0
τx
yc
o
s
2α0
2τα0
0
即α＝α0 时，切应力为零
主应力
tan
2 0
2 xy x
y
由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力所在平面。
所以，最大和最小正应力分别为：
主应力
max
x
2
y
1 2
x
y
2
4
2 xy
min
x
2
y
1 2
主应力 1 方向： 0 15.5 主应力 3 方向：0 105 .5
（3）主应力单元体：
y xy
x
3 1
15.5
正应力极值：
max
min
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
tan
2 0
2 xy x
y
切应力极值：
主应力
max
min
x
2
y
2
2 xy
tan
20
x 2 xy
y
二、梁的主应力
§7.8 五种常用强度理论
强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推 理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出 引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善， 在一定范围与实际相符合，上升为理论。
为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出 的关于材料破坏原因的假设及计算方法。