高一 数学期末测试题（一）（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）： （1）下列说法中，正确的是（ ）A ．第二象限的角是钝角．B ．第三象限的角必大于第二象限的角C ．︒-831是第二象限角D ．'''40264409842095︒︒︒-，，是终边相同的角 （2）下列四个等式中，①cos （360°＋300°）＝cos300°；②cos （180°-300°）=cos300°；③cos （180°+300°）=-cos300°；④cos （360°-300°）=cos300°，其中正确的等式有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 （3）已知=（0，1）、＝（0，3），把向量绕点A 逆时针旋转90°得到向量，则向量等于（ ）．A ．（-2，1）B ．（-2，0）C ．（3，4）D ．（3，1） （4）对于函数2tanxy =，下列判断正确的是（ ）． A ．周期为π2的奇函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为π2的偶函数（5）若23)2πsin(-=-x ，且2ππ<<x ，则x 等于（ ）． A ．π34B ．π67C ．π35D ．π611 （6）在ABC ∆中，若C b a cos 2=，則ABC ∆一定是（ ）．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等邊三角形（7）将函数412--=x x y 的图象按向量平移后的图象的解析式为2x y =，则等于（ ）． A ．)2121(， B ．)2121(-， C ．)2121(，- D ．)2121(--，（8）已知=（-2，-3）、ON ＝（1，1），点)21(，x P 在线段MN 的中垂线上，则x 等于（ ）．A ．25-B ．23-C ．27- D ．3-（9）已知｜｜＝3，b ＝（1，2），且∥，则的坐标为（ ）．A ．)556553(， B ．)556553(--， C ．)556553(±±， D ．)556553(，- （10）在下列各区间中，是函数x x y cos sin +=的单调递增区间的是（ ）．A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2π， B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π0， C ．[]0π，- D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π4π，（11）设α是第三象限角，且2cos2cosαα-=，则2α所在象限是（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （12）函数)2π25sin(x y +=的图象的一条对称轴的方程是（ ）． A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π-=x D ．π45=x 二、填空题（每小题4分，共16分）： （13）已知点A 分所成的比为31-，则点B 分所成的比为________．（14）︒+︒70cos 470tan 1的值是________．（15）已知)sin()(ϕω+=x A x f 在同一个周期内，当3π=x 时，)(x f 取得最大值为2，当0=x 时，)(x f 取得最小值为2-，则函数)(x f 的一个表达式为_______． （16）已知||＝4，||=2，|-2｜＝2，与的夹角为θ，则θcos 等于________．三、解答题：（17）（10分）已知31)3πtan(=+α、41)tan(=-βα，求)3πtan(+β的值．（18）（12分）求与向量＝（3，-1）和＝（1，3）的夹角均相等，且模为-2的向量的坐标．（19）（12分）已知)sin(βα+＝1，求证：ββαsin )2sin(=+．（20）（12分）已知｜｜＝1，｜｜＝2，与的夹角为3π． （Ⅰ）求·；（Ⅱ）向量＋λ与向量λ-的夹角为钝角，求实数λ的取值范围．（21）（14分）已知函数1cos sin 23cos 212++=x x x y ，R ∈x ． （Ⅰ）当函数y 取得最小值时，求自变量x 的集合．（Ⅱ）该函数的图象可由)(sin R ∈=x x y 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（22）（14分）如图，某观测站C 在城A 的南偏西︒20方向上，从城A 出发有一条公路，走向是南偏东︒40，在C 处测得距离C 处31千米的公路上的B 处有一辆正沿着公路向城A 驶去，行驶了20千米后到达D 处，测得C 、D 二处间距离为21千米，这时此车距城A 多少千米？参考答案一、（1）D ．（2）C ．①、③、④正确． （3）A ．)20(，=，=（-2，0），＝＋＝（-2，1）．（4）A ．π221π=÷=T ．)2tan(x -=2tan x-． （5）B ．23cos )2πsin(-==-x x ，)π23π(，∈x ，π676ππ=+=x ． （6）B ．∵ ac b a ab c b a b a 22222222-+=-+=⋅，∴ 2222c b a a -+=，∴ 22b c =．（7）C ．412--=x x y 化为2)21(21-=+x y ，令x'x =-21，y'y =+21，∴ 21-=h ，21=k ．＝)2121(，-． （8）A ．)32(--，M ，)11(，N ，中点为)121(--，Q ．＝（1，1）-（-2，-3）＝（3，4），)2321()121()21(，，，+=---=x x ．∵⊥，∴ 0234)21(3=++⋅⋅x ，∴ 25-=x ．（9）C ．设)sin 3cos 3(θθ，=，则0sin 3cos 32=-⋅θθ，∴ θθ,2tan =为第一、三象限角，求出θsin 、θcos ，也可用试值法，代入检验．（10）B ．)4πsin(2cos sin +=+=x x x y ，作出图象加以判断．（11）B ．α是第三象限角，则2α是第二或第四象限角．由02cos ≤α，故2α是第二象限角．（12）A ．把各选择题的直线方程代入函数解析式中，使得y 取得最大值1或最小值-1的直线为函数图象的对称轴，化简函数解析式为x y cos =，逐一代入检验，选A ．二、（13）由已知得B 是的内分点，且2||＝||，故B 分的比为21．（14）︒︒︒+︒=︒+︒︒=︒+︒70sin 70cos 70sin 470cos 70cos 470sin 70cos 70cos 470tan 1 ＝︒︒-︒+︒=︒︒+︒=︒︒+︒70sin )3070sin(270cos 70sin 40sin 270cos 70sin 140sin 270cos ＝︒︒︒-︒︒+︒⋅70sin 30sin 70cos 230cos 70sin 270cos ＝︒︒︒⋅70sin 30cos 70sin 2＝︒30cos 23=．（15）由已知易得π32,03π2,2=-==T T A ，∴ 3=ω，2πsin 1)3π3sin(==+⋅ϕ，令2ππ=+ϕ，则2π-=ϕ，∴ )2π3sin(2)(-=x x f （答案不唯一）． （16）｜-2｜2＝（-2）2＝（）2-4·＋4（）2＝42-4⨯4⨯2·87cos ,2cos 323224cos 22==-=⨯+θθθ． 三、（17）)3πtan(+β＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+)()3π(tan βαa)tan()3πtan(1)tan()3π(tan βααβαα-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⋅＝131413114131=+-⋅．（18）设所求向量的坐标为),(y x ，由已知得422=+y x ，设),(y x 与的夹角为θ，故θθcos 102cos )1()3()3()13()(2222⋅⋅⋅⋅=-++=-=-y x y x y x ，，，=θcos1023y x -，同理1023cos y x +=θ，故10231023y x y x +=-．∴ y x 2=．代入422=+y x 中，解得5521=y ，5522-=y ．∴ 5541=x ，5542-=x ．∴ 所求向量为)552554(，或)552554(--，． （19）由1)sin(=+βα，得0)cos(=+βα，故=++=+])sin[()2sin(αββαa ααβααβαcos sin )cos(cos )sin(=+++．又由1)sin(=+βα，得βα+)(2ππ2N ∈+=k k ，所以βα-+=2ππ2k ，则)2πcos()2ππ2cos(cos ββα-=-+=k βsin =．于是ββαsin )2sin(=+．（20）（Ⅰ）·＝1；（Ⅱ）（＋λ）·（λ-）＝λ（）2＋（λ2-1）·-λ（）2＝λ＋λ2-1-4λ＝λ2-3λ-1．因为＋λ与λ-的夹角为钝角，所以（＋λ）·（λ-）＜0，令0132<--λλ，得21332133+<<-λ． （21）（Ⅰ）4341)1cos 2(411cos sin 23cos 2122++-=++=x x x x y )cos sin 2(x x 1+＝45)6πcos 2sin 6πsin 2(cos 21452sin 432cos 41++=++⋅⋅x x x x ++=)6π2sin(21x 45，取得最小值必须且只需π22π36π2k x +=+，即)π32πZ ∈+=k k x ，．所以当函数y 取得最小值时，自变量x 的集合为}Z π32π|{∈+=k k x x ，．（Ⅱ）将函数x y sin =依次进行如下变换：①把函数x y sin =的图象向左平移6π，得到函数)6πsin(+=x y 的图象，②把所得的图象上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数)6π2sin(+=x y 的图象，③把所得的图象上各点的纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数)6π2sin(21+=x y 图象；④把所得的图象向上平移45个单位长度，得到函数45)6π2sin(21++=x y 的图象．即得到函数1cos sin 23cos 212++=x x x y 的图象．（22）在BCD ∆中，21=CD ，20=BD ，31=BC ，由余弦定理得,7120212312021cos 222-=⨯⨯-+=∠BDC 所以774cos 1sin 2=∠-=∠BDC BDC ．在ACD ∆中，CD＝21，=︒-∠=∠︒=︒+︒=∠)60sin(sin 604020BDC ACD CAD ， 143560sin 60cos sin =︒∠-︒∠⋅⋅BDC BDC ．由正弦定理得=∠∠=⋅CADACDCD AD sin sin 1523143521=⋅（千米）．所以此车距城A 有15千米．。