微专题1 基本不等式的应用技巧
在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用．
一、加项变换
例1 已知关于x 的不等式x ＋1x －a
≥7在x >a 上恒成立，则实数a 的最小值为________． 答案 5
解析 ∵x >a ，
∴x －a >0，
∴x ＋1x －a ＝(x －a )＋1x －a
＋a ≥2＋a ， 当且仅当x ＝a ＋1时，等号成立，
∴2＋a ≥7，即a ≥5.
反思感悟 加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解．
二、平方后使用基本不等式
例2 若x >0，y >0，且
2x 2＋y 23＝8，则x 6＋2y 2的最大值为________． 答案 92
3 解析 (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 2
⎝⎛⎭⎫1＋y 23 ≤3·⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x 2＋1＋y 2322＝3×⎝⎛⎭⎫922. 当且仅当
2x 2＝1＋y 23，即x ＝32，y ＝422时，等号成立． 故x 6＋2y 2的最大值为92
3. 三、展开后求最值
例3 若a ，b 是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝
⎛⎭⎫1＋4a b 的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10
答案 C
解析 ∵a ，b 是正数，
∴⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝1＋4a b ＋b a ＋4＝5＋4a b ＋b a
≥5＋24a b ·b a
＝5＋4＝9， 当且仅当b ＝2a 时取“＝”．
四、常数代换法求最值
例4 已知x ，y 是正数且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( ) A.1315 B.94
C ．2
D ．3 答案 B
解析 由x ＋y ＝1得(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，
即14
[(x ＋2)＋(y ＋1)]＝1， ∴4x ＋2＋1y ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1·14
[(x ＋2)＋(y ＋1)] ＝14⎣⎢⎡⎦
⎥⎤4＋1＋4(y ＋1)x ＋2＋x ＋2y ＋1 ≥14(5＋4)＝94
， 当且仅当x ＝23，y ＝13
时“＝”成立，故选B. 反思感悟 通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的．
五、代换减元求最值
例5 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0<x <12，则3x ＋1y －3
的最小值为________． 答案 8
解析 ∵实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0<x <12， ∴x ＝3y ＋3，∴0<3y ＋3<12
，解得y >3. 则3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2(y －3)·1y －3
＋6＝8，当且仅当y ＝4，x ＝37时
取等号．
反思感悟 在解含有两个以上变元的最值问题时，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个或一个变元的问题，再使用基本不等式求解．
六、建立求解目标不等式求最值
例6 已知a ，b 是正数，且(a ＋b )(a ＋2b )＋a ＋b ＝9，则3a ＋4b 的最小值等于________． 答案 62－1
解析 a ，b 是正数，且(a ＋b )(a ＋2b )＋a ＋b ＝9，
即有(a ＋b )(a ＋2b ＋1)＝9，
即(2a ＋2b )(a ＋2b ＋1)＝18，
可得3a ＋4b ＋1＝(2a ＋2b )＋(a ＋2b ＋1)
≥2(2a ＋2b )(a ＋2b ＋1)＝62，
当且仅当2a ＋2b ＝a ＋2b ＋1时，上式取得等号，
即有3a ＋4b 的最小值为62－1.
例7 已知a >0，b >0，且a ＋b ＋1a ＋1b ＝5，则a ＋b 的取值范围是(
) A ．1≤a ＋b ≤4 B ．a ＋b ≥2
C ．1<a ＋b <4
D ．a ＋b >4
答案 A
解析 ∵a ＋b ＋1a ＋1b ＝5，
∴a ＋b ＋a ＋b ab ＝5.
∵a >0，b >0，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫
a ＋
b 22，
∴1ab ≥4
(a ＋b )2，
∴a ＋b ＋a ＋b ab ≥a ＋b ＋4
a ＋
b ，
∴a ＋b ＋4
a ＋
b ≤5，
即(a ＋b )2－5(a ＋b )＋4≤0，
∴(a＋b－4)(a＋b－1)≤0，
即1≤a＋b≤4，
时，左边等号成立，
当a＝b＝1
2
当a＝b＝2时，右边等号成立，故选A.
反思感悟利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值．。