第2讲 万有引力与航天高考题型1 万有引力定律及天体质量和密度的求解解题方略1．利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g 4πGR . 2．通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .(1)由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r 3GT 2； (2)若已知天体半径R ，则天体的平均密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3； (3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度．例1 (多选)(2015·新课标全国Ⅰ·21)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4m 高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约为1.3×103kg ，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8m/s 2.则此探测器( )A ．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9m/sB ．悬停时受到的反冲作用力约为2×103NC ．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒D ．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度预测1 (多选)(2015·青岛二模)2015年3月30日21日52分，中国在西昌卫星发射中心用长征三号丙运载火箭，成功将首颗新一代北斗导航卫星发射升空，31日凌晨3时34分顺利进入圆轨道．卫星在该轨道上运动的周期与地球自转周期相同，但该轨道平面与赤道平面有一定的夹角，因此该轨道也被称为倾斜同步轨道，根据以上信息请判断下列说法中正确的是( )A ．该卫星做匀速圆周运动的圆心一定是地球的球心B ．该卫星离地面的高度要小于地球同步卫星离地面的高度C ．地球对该卫星的万有引力一定等于对地球同步卫星的万有引力D ．只要倾角合适，处于倾斜同步轨道上的卫星可以在每天的固定时间经过青岛上空预测2 (2015·龙岩市5月模拟)如图1所示，一个质量均匀分布的星球，绕其中心轴PQ 自转，AB 与PQ 是互相垂直的直径．星球在A 点的重力加速度是P 点的90%，星球自转的周期为T ，引力常量为G ，则星球的密度为( )图1A.0.3πGT 2B.3πGT 2C.10π3GT 2D.30πGT 2预测3 (多选)(2015·江苏四市调研)2014年5月10日天文爱好者迎来了“土星冲日”的美丽天象．如图2所示，“土星冲日”是指土星和太阳正好分处地球的两侧，三者几乎成一条直线．该天象每378天发生一次，土星和地球绕太阳公转的方向相同，公转轨迹都近似为圆，地球绕太阳公转周期和半径以及引力常量均已知，根据以上信息可求出( )图2A ．土星质量B ．地球质量C ．土星公转周期D ．土星和地球绕太阳公转速度之比预测4 (2015·黄山二检)火星成为我国深空探测的第二颗星球，假设火星探测器在着陆前，绕火星表面匀速飞行(不计周围其他天体的影响)，航天员测出飞行N 圈用时t ，已知地球质量为M ，地球半径为R ，火星半径为r ，地球表面重力加速度为g ，则( )A ．火星探测器匀速飞行的速度约为2πNR tB ．火星探测器匀速飞行的向心加速度约为4π2N 2r t 2C ．火星探测器的质量为4πN 2r 3gR 2t 2 D ．火星的平均密度为3πMN 2gR 2t高考题型2 卫星运行参量的分析解题方略卫星的绕行速度v 、角速度ω、周期T 与轨道半径r 的关系1．由G Mm r 2＝m v 2r，得v ＝GM r ，则r 越大，v 越小． 2．由G Mm r2＝mω2r ，得ω＝GM r 3，则r 越大，ω越小． 3．由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得T ＝4π2r 3GM，则r 越大，T 越大． 例2 (2015·淮北市二模)2015年5月23日天文爱好者迎来了“土星冲日”的美丽天象．“土星冲日”是指土星和太阳正好分处地球的两侧，三者几乎成一条直线，如图3所示．该天象每378天发生一次，土星和地球绕太阳公转的方向相同，公转轨迹都近似为圆，根据我们所学知识可知( )图3A ．土星公转的速率比地球的大B ．土星公转的向心加速度比地球的大C ．假如土星适度加速，有可能与地球实现对接D ．土星公转的周期约为1.06×104天预测5 (2015·山东理综·15)如图4所示，拉格朗日点L 1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L 1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动．以a 1、a 2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小．以下判断正确的是()图4A．a2>a3>a1B．a2>a1>a3C．a3>a1>a2D．a3>a2>a1预测6(2015·河南八市模拟)如图5所示，某极地轨道卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极，已知该卫星从北纬60°的正上方，按图示方向第一次运行到南纬60°的正上方时所用时间为1h，则下列说法正确的是()图5A．该卫星与同步卫星的运行半径之比为1∶4B．该卫星与同步卫星的运行速度之比为1∶2C．该卫星的运行速度一定大于7.9km/sD．该卫星的机械能一定大于同步卫星的机械能高考题型3卫星变轨与对接解题方略卫星速度改变时，卫星将变轨运行．1．速度增大时，卫星将做离心运动，周期变长，机械能增加，稳定在高轨道上时速度比在低轨道上小．2．速度减小时，卫星将做向心运动，周期变短，机械能减少，稳定在低轨道上时速度比在高轨道上大．例3(2015·安徽江南十校模拟)嫦娥五号探测器是我国研制中的首个实施无人月面取样返回的航天器，预计在2017年由长征五号运载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞返回地球，航天器返回地球开始阶段运行的轨道可以简化为如图6所示：发射时，先将探测器发射至近月圆轨道1上，然后变轨到椭圆轨道2上，最后由轨道2进入圆形轨道3，忽略介质阻力，则以下说法正确的是()图6A．探测器在轨道2上经过近月点A处的加速度大于在轨道1上经过近月点A处的加速度B．探测器在轨道2上从近月点A向远月点B运动的过程中速度减小，机械能增大C．探测器在轨道2上的运行周期小于在轨道3上的运行周期，且由轨道2变为轨道3需要在近月点A处点火加速D．探测器在轨道2上经过远月点B处的运行速度小于在轨道3上经过远月点B处的运行速度预测7(多选)(2015·河南实验中学二调)“神舟十号”与“天宫一号”已5次成功实现交会对接．如图7所示，交会对接前“神舟十号”飞船先在较低圆轨道1上运动，在适当位置经变轨与在圆轨道2上运动的“天宫一号”对接．M、Q两点在轨道1上，P点在轨道2上，三点连线过地球球心，把飞船的加速过程简化为只做一次短时加速．下列关于“神舟十号”变轨过程的描述，正确的有()图7A．“神舟十号”在M点加速，可以在P点与“天宫一号”相遇B．“神舟十号”在M点经一次加速，即可变轨到轨道2C．“神舟十号”经变轨后速度总大于变轨前的速度D．“神舟十号”变轨后的运行周期总大于变轨前的运行周期预测8(2015·湖北八校二模)美国宇航局的“信使”号水星探测器按计划将在2015年3月份陨落在水星表面．工程师找到了一种聪明的办法，能够使其寿命再延长一个月．这个办法就是通过向后释放推进系统中的高压氦气来提升轨道．如图8所示，设释放氦气前，探测器在贴近水星表面的圆形轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，释放氦气后探测器进入椭圆轨道Ⅱ上，忽略探测器在椭圆轨道上所受外界阻力．则下列说法正确的是( )图8A ．探测器在轨道Ⅰ上A 点运行速率小于在轨道Ⅱ上B 点速率B ．探测器在轨道Ⅱ上某点的速率可能等于在轨道Ⅰ上的速率C ．探测器在轨道Ⅱ上远离水星过程中，引力势能和动能都减少D ．探测器在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上A 点加速度大小不同高考题型4 双星与多星问题解题方略双星系统模型有以下特点：1．各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即Gm 1m 2L 2＝m 1ω21r 1，Gm 1m 2L 2＝m 2ω22r 2. 2．两颗星的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2.3．两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L .例4 (2015·重庆市西北狼教育联盟二模)质量不等的两星体在相互间的万有引力作用下，绕两者连线上某一定点O 做匀速圆周运动，构成双星系统．由天文观察测得其运动周期为T ，两星体之间的距离为r ，已知引力常量为G .下列说法正确的是( )A ．双星系统的平均密度为3πGT 2B ．O 点离质量较大的星体较远C ．双星系统的总质量为4π2r 3GT 2 D ．若在O 点放一物体，则物体受两星体的万有引力合力为零预测9 (多选)(2015·湖南五市十校联考)某国际研究小组观测到了一组双星系统，它们绕二者连线上的某点做匀速圆周运动，双星系统中质量较小的星体能“吸食”质量较大星体的表面物质，造成质量转移．根据大爆炸宇宙学可知，双星间的距离在缓慢增大，假设星体的轨道仍近似为圆，则在该过程中()A．双星做圆周运动的角速度不断减小B．双星做圆周运动的角速度不断增大C．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径减小D．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大提醒：完成作业专题三第2讲学生用书答案精析第2讲 万有引力与航天高考题型1 万有引力定律及天体质量和密度的求解例1 BD [在星球表面有GMm R 2＝mg ，所以重力加速度g ＝GM R 2，地球表面g ＝GM R 2＝9.8m/s 2，则月球表面g ′＝G 181M (13.7R )2＝3.7×3.781×GM R 2＝16g ，则探测器重力G ＝mg ′＝1300×16×9.8N ≈2×103N ，选项B 正确；探测器自由落体，末速度v ＝2g ′h ＝43×9.8m /s≈3.6 m/s ，选项A 错误；关闭发动机后，仅在月球引力作用下机械能守恒，而离开近月轨道后还有制动悬停，所以机械能不守恒，选项C 错误；在近月轨道运行时万有引力提供向心力，有GM ′m R ′2＝m v 2R ′，所以v ＝G 181M 13.7R ＝ 3.7GM 81R ＜GM R，即在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度，选项D 正确．]预测1 AD [卫星围绕地球做匀速圆周运动，圆心一定是地球的球心，故A 正确．根据万有引力提供向心力G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得r ＝3GMT 24π2，因为该卫星的周期与赤道上空的同步卫星的周期相同，故它的轨道高度与位于赤道上空的同步卫星的轨道高度相同，故B 错误．根据F ＝G Mm r2可知，由于不知道该卫星和地球同步卫星质量的关系，所以无法判断万有引力的关系，故C 错误．倾斜同步轨道卫星相对于地球非静止的，所以倾斜同步轨道卫星从地球上看是移动的，故该卫星不可能始终位于地球表面某个点的正上方，所以只要倾角合适，处于倾斜同步轨道上的卫星可以在每天的固定时间经过青岛上空，故D 正确．]预测2 D预测3 CD [行星受到的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列方程后，行星的质量会约去，故无法求解行星的质量，A 、B 均错误；“土星冲日”天象每378天发生一次，即每经过378天地球多转动一圈，根据(2πT 1－2πT 2)t ＝2π可以求解土星公转周期，C 正确；知道土星和地球绕太阳的公转周期之比，根据开普勒第三定律，可以求解转动半径之比，根据v＝2πR T可以进一步求解土星和地球绕太阳公转速度之比，D 正确．] 预测4 B高考题型2 卫星运行参量的分析例2 D [根据GMm r 2＝m v 2r ＝ma 得，v ＝GM r ，a ＝GM r2，土星的轨道半径大，公转速率小，向心加速度小，故A 、B 错误；假如土星适度加速，万有引力不足以提供所需的向心力，做离心运动，不可能与地球实现对接，故C 错误；由该天象每378天发生一次可得(2πT 地－2πT 土)t ＝2π，其中T 地＝365天，t ＝378天，解得T 土≈1.06×104天，故D 正确．]预测5 D预测6 A高考题型3 卫星变轨与对接例3 D [探测器在轨道1和2上A 点的位置不变，受到的万有引力不变，根据F ＝ma 知加速度相等，故A 错误；根据开普勒第二定律知，在轨道2上从近月点A 向远月点B 运动的过程中速度减小，机械能保持不变，B 错误；探测器在轨道2上的运行周期小于在轨道3上的运行周期，且由轨道2变为轨道3需要在远月点B 处点火加速，故探测器在轨道2上经过远月点B 处的运行速度小于在轨道3上经过远月点B 处的运行速度，C 错误，D 正确．] 预测7 AD [“神舟十号”与“天宫一号”实施对接，需要“神舟十号”抬升轨道，即神舟十号开动发动机加速做离心运动使轨道高度抬升与“天宫一号”实现对接，故“神舟十号”在M 点加速，可以在P 点与“天宫一号”相遇，故A 正确；卫星绕地球做圆周运动的向心力由万有引力提供，故有G Mm r 2＝m v 2r ，解得：v ＝GM r，所以卫星轨道高度越大线速度越小，“神舟十号”在轨道2的速度小于在轨道1的速度，所以M 点经一次加速后，还有一个减速过程，才可变轨到轨道2，故B 、C 错误；根据G Mm r 2＝m 4π2r T 2，解得：T ＝2πr 3GM，知轨道半径越大，周期越大，所以“神舟十号”变轨后的运行周期总大于变轨前的运行周期，故D 正确．]预测8 B高考题型4 双星与多星问题例4 C [根据G Mm r 2＝mr 14π2T 2，G Mm r 2＝Mr 24π2T 2，r 1＋r 2＝r ，联立三式解得M ＋m ＝4π2r 3GT 2，因为双星的体积未知，无法求出双星系统的平均密度，故A 错误，C 正确；根据mr 1＝Mr 2可知，质量大的星体离O 点较近，故B 错误；因为O 点离质量较大的星体较近，根据万有引力定律可知若在O 点放一物体，则物体受质量大的星体的万有引力较大，故合力不为零，故D 错误．]预测9 AD [设质量较小的星体质量为m 1，轨道半径为r 1，质量较大的星体质量为m 2，轨道半径为r 2.双星间的距离为L ，转移的质量为Δm ，根据万有引力提供向心力，对m 1： G (m 1＋Δm )(m 2－Δm )L 2＝(m 1＋Δm )ω2r 1① 对m 2：G (m 1＋Δm )(m 2－Δm )L 2＝(m 2－Δm )ω2r 2②由①②得，ω＝G (m 1＋m 2)L 3，总质量m 1＋m 2不变，两者距离L 增大，则角速度ω变小，故A 正确，B 错误；由②式可得：r 2＝G (m 1＋Δm )ω2L 2，把ω的值代入得： r 2＝G (m 1＋Δm )G (m 1＋m 2)L 3L 2＝m 1＋Δm m 1＋m 2L ， 因为L 增大，故r 2增大．即质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大，故C 错误，D 正确．]。