不等式的性质
• • • • 学习要求： 1.能够推导不等式的性质. 2.掌握不等式的性质. 3.能够熟练应用不等式的性质解决有关问题.
• 一. 复习 • 不等式的基本原理及含义
• a - b > 0 <=> a > b • a - b = 0 <=> a = b • a - b < 0 <=> a < b
四. 小结: • • • • • 对称性 传递性 可加性 可乘性 移项法则
不等式的十大性质与法则
• • • • • 加法法则 乘法法则 乘方法则 开方法则 倒数法则
例2 已知 a , a+2 , a+4 是一个钝角三角形的 三边之长，求a的取值范围。
(2 , 6)
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⑵平方不等式——平方法则： 若a,b>0,则a>b b<x<a 若a,b<0,则a>b b<x<a 若 a > 0 , b < 0, 则b<x<a
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a2 > b2 b2< x2< a2 a2 < b2 a2 < x2 < b2
• 0≤x2 < max(a2,b2)
小结
比较实数的大小一般步骤： 作差－变形－判断符号 • 变形是关键： • 1°变形常用手段:配方法，因式分解法 • 2°变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几 个平方和；几个因式的积
二.不等式的性质 • • • • • • 性质1 性质2 推论 性质3 推论1 推论2 a>b <=> b<a a>b , b>c => a>c a<b , b<c => a<c a>b <=> a+c>b+c a+b>c <=> a>c-b a>b , c>d => a+c>b+d • 对称性 • 传递性 • • • • 可加性 移项法则 加法法则 注意双向箭头 与单向箭头
• 四大作用:
• (1) 比较两个实数的大小，(2) 推导不等式的性质，(3) 不等式的证 明，(4) 解不等式的主要依据
• 比较大小的步骤:
• 分三步进行：①作差；②变形；③定号.
练习题
• 1. 已知 x≠0 , 比较 (x2 +2)2 与 x4+x2 +4的大 小. • 2.比较 (x2 +2)2 与 5x2 +2的大小 • 3. 比较 x3 与 x2-x + 1的大小.
例1 如果 a > b > 0, a + b=1, 试比较 b与 a2+b2的大小。
练习题
• 1、若-1 < a < b < 0,试把 1/a , 1/b , a2 , b2 从小到 大排起来. • 2、若6 < a < 8, 2 < b < 3,分别求a+b , a – b , b/a 的取值范围. • 3、若 a>b , g<0 . 则 g (a-c)<g (b-c) • 4. 若 a>b>0 , c<d<0 , e<0 . 则 e/(a-c) > e/(b-d)
b 0
n
• 开方法则 • 注: 反证法
三. 不等式除了书上给出的一些性质外，另有两 个常用结论
• ⑴ 倒数不等式—倒数法则： • 若ab > 0 , 则 a > b • a<b • a<x<b •
• 1/a < 1/b • 1/a > 1/b • 1/b < 1/x < 1/a
• 简记：“同号 取倒反向”
• 性质4 (1) a>b , c>0 => ac>bc • (2) a>b , c<0 => ac<bc • 推论1 a>b>0 , c>d>0 => ac>bd • 推论2 a>b>0 =>an > bn • (n∈N , n＞1)
• 可乘性
• 乘法法则 • 乘方法则
• 性质5 a>b>0 => n a • (n∈N , n>1)