实现预定轨迹的平面四连杆机构的优化设计
汕头大学工学院 09机电系citycars
摘 要： 四连杆机构是工程上广泛应用的传动机构，按照预定的轨迹曲线设计平面连杆机构，就是要确定机构的各尺寸参数和连杆上的描点位置，使该点所描的连杆曲线与预定的轨迹相符。

利用软件Matlab 优化工具箱进行优化设计，使得实际运动轨迹与预定的轨迹误差最小，得到最优的连杆参数。

关键词：平面四连杆机构 预定轨迹 优化设计
For achieving the orbit of the plane four bar linkage
of optimization design
Abstract ： Four bar linkage is widely used in engineering transmission mechanism, according to the predetermined path curve planar linkage mechanism design is to determine the size of the agency and the parameters of the tracing points, and make the point of link curve and draw a path consistent. Use of software Matlab optimal toolbox for optimum design, make the actual trajectory and scheduled path error smallest, the optimal parameters of the connecting rod.
Key words: Plane four bar linkage Scheduled path Optimization design 1
问题描述
设计一平面四连杆机构，如图1所示。

要求曲柄在运动过程中实现运动轨迹x
y 2=
，52<<x ，因传递力的需要，最小转动角γ大于50度。

图1
2 建立优化数学模型
2.1 确定设计变量
根据设计要求，由机械原理知识可知，设计变量有L1、L2、L3、L4、ϕ。

将曲柄的长度取为一个单位长度1，其余三杆长可表示为L1的倍数。

由图1所示的几何关系可知
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅⋅--+=4
32
4
232212)(arccos L L L L L L ϕ
ϕ为杆长的函数。

另外，根据机构在机器中的许可空间，可以适当预选机架L4
的长度，取L4=5，经以上分析，只剩下L2、L3两个独立变量，所以，该优化问题的设计变量为
[][]T
T
L L X X X 3221,,==
因此。

本优化设计为一个二维优化问题。

2.2 建立目标函数
按轨迹的优化设计，可以将连杆上M 点()mi mi y x ,与预期轨迹点坐标偏差最小为寻优目标，其偏差为i Mi i x x x -=∆和i Mi i y y y -=∆()n x i ,,2,1⋅⋅⋅=，如图2。

为此，把摇杆运动区间2到5分成S 等分，M 点坐标有相应分点与之对应。

将各分点标号记作i ，根据均方根差可建立其目标函数，即
()()()
[]
min 2
/122
→-+-=
∑i Mi i Mi
y y x x
X f
ϕ
sin 3L y Mi =
ϕcos 33⋅+=L x Mi
i i x y ⋅=
2
)1(31-+=i s
x i ，S 为运动区间的分段数
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅⋅--+=432423
2212)(arccos L L L L L L ϕ
于是由以上表达式便构成了一个目标函数的数学表达式，对应于每一个机构设计方案（即给定21,X X ），即可计算出均方根差()X f 。

图 2
2.3 确定约束条件
根据设计条件，该机构的约束条件有两个方面：一是传递运动过程中的最小传动角γ应大于50度；二是保证四杆机构满足曲柄存在的条件。

以此为基础建立优化线束条件。

①保证传动角 50>γ
图 3
按传动条件，根据图3可能发生传动角最小值的位置图，由余弦定理 6428.050cos =
6428
.0arccos 2)(arccos
3
22
3
2
22
41≥⋅⋅--+=L L L L L L γ （见图3（a ））
所以
322
322
2412496.1)(L L L L L L ⋅⋅≥--+ （a ）
6428
.0arccos 2)
(arccos
3
22
142322≥⋅⋅--+=L L L L L L γ （见图3（b ））
所以
322
142322
2496.1)(L L L L L L ⋅⋅≥--+ （b ） 式（a ）、（b ）为两个约束条件，将11=L ，54=L ，12x L =，23x L =代入式（a ）、（b ），得
()0
362496.1212
22
11≤+⋅---=x x x x x g
()0162496.1212
22
12≤-⋅-+=x x x x x g
②曲柄存在的条件
按曲柄存在条件，由机械原理知识可知
12L L ≥，13L L ≥，3241L L L L +≤+
4321L L L L +≤+，4231L L L L +≤+
把它们写成不等式约束条件（将11=L ，54=L ，12x L =，23x L =代入上式），得
()0113≤-=x x g
()0124≤-=x x g
()0
6215≤--=x x x g
()04216≤--=x x x g ()04127≤--=x x x g
经过分析，上述七个约束条件式中，()X g 1和()X g 2为紧约束条件，()()X g X g 73~为松约束条件，即满足()01≤X g 和()02≤X g 的
X
，必满足不等式
()()0~073≤≤X g X g ，所以本优化问题实际起作用的只有()X g 1和()X g 2两个不
等式约束条件。

2.4 写出优化数学模型
综上所述，可得本优化问题的数学模型为
()()()
[]
∑=-+-=
s
i i Mi i Mi
y y x x
X f 0
2
/122
min
[][]T
T
L L X X X 3221,,==
t
s . ()0362496.12122211≤+⋅---=x x x x x g
()0162496.12122212≤-⋅-+=x x x x x g
即本优化问题具有两个不等式约束的二维约束优化问题。

3
选择优化方法及优化结果
3.1 选取Matlab 2011a 版优化工具箱进行本优化问题优化。

取初始点
()
[]
T
X
2,30=，优化结果为
[
][]
T
T
x x X
69.2,10.5,2
1==**
*
，
即L2=5.10（长度单位），L3=2.69（长度单位）；
() 2.41==*
*
X
f f
3.2 验证优化结果
利用优化结果反求连杆M 点运动轨迹，并与理论轨迹比较，如图所示
图 M 点运动理论轨迹与实际轨迹
由M点实际运动轨迹可以看出，与理论轨迹的误差最大不超过1.4，根据设计要
求可以认为在误差允许范围内。

4 结论
利用软件Matlab来优化预定运动轨迹的平面四连杆机构的设计，得出最优
的四杆参数。

利用这最优参数进行设计时，连杆实际运动轨迹与理论运动轨迹误差最小。

参考文献：
[1] 张鄂，买买提明.现代设计理论与方法.北京：科学出版社，2007.13-90
[2] 孙桓，陈作模，葛文杰.机械原理.第七版，北京：高等教育出版社，2006.135-138
[3] 张志涌，杨祖樱等编著.MATLAB 教程：R2010a.北京：北京航天航空大学出版社，2010.8.188-200。