6
类似地，当令0=0， 2 4 g ，则解为 0
0 cos

2
l
最高点( = )，非稳平衡，运动非唯一性。 ★ 对于一般单摆的运动方程（受周期性驱动力作 用的阻尼单摆） ：
d d ml 2 l mg sin F cos t dt dt
2
●一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。 结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件 下，其解可能具有不可预测的随机性。
1
为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输 入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结果， 然后再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机 却偏离了上次的结果。 他第二次输入时去掉了小数点后面三位：
0.506127 0.506
混沌的初值敏感性
2
●蝴蝶效应
洛仑兹吸引子（奇怪吸引子）
3
非线性振动系统及混沌的基本概念 一、任意摆角情况下单摆的运动


相轨线






相轨线
12
2n
2
三维相空间
2(n 1)
2n
环形相空间
●相轨线在彭加勒截面上的交点的集合就称为 彭加勒截面图。 ★通过分析相轨线在彭加勒截面上的交点的分布 规律，就可了解到在长时间周期性的演变过程 中系统的运动规律。


相轨线



7
二、确定性系统中的内在随机性
●在一个确定性的系统中，由于其本身的非线性 性质所产生的运动随机性称为确定性系统的内在 随机性。 例如，上述非线性单摆的运动。 ★支配整个系统运动的因素是严格确定的（具有确 定的运动方程），系统完全不存在随机力的作用。 ★然而经过时间的演化，在这种确定性系统中出现 了随机行为，产生出完全不可预测的、极为复杂的 结果来，最后得到一条完全随机的运动轨道。
2
5
方程解的非唯一性 1. 设初始条件为
2g 2 2 2cos 1 cos 0 0 l 2
2
0= ，0= 0，则其解为
g 2 cos l 2
O
A

N
l
m
d 0 在最高点 = ， = 0， dt
运动分析：
系统非稳定平衡点。可能出现三种运动情况： a. 停留在该顶点，尔后径直下落； b. 调头沿原路返回； c. 越过该顶点继续向前运动。
线性系统（数学定义）： 若 f ( x ) 满足 f ( x1 x2 )
f ( x1 ) f ( x2 ) 则 f ( x) 是线性的； 若 g ( x) 为非线性，则 A g ( x1 x2 ) g ( x1 ) g ( x2 )
★自由单摆的运动方程：
O d 2 g 当 很小， sin l 2 dt l 2 N d g 线性近似： (sin ) 2 dt l 按级数展开，取第一项而得.

O

自治系统的相空间与相轨线 ●一个自治系统在其相空间上的相轨线不会相交， 即通过每一相点的轨线是唯一的。 而非自治系统中相轨线则会相交。如上述系统在二 维 ( ) 相平面上相轨线有相交情况。
11
4. 彭加勒截面图
若沿方向截取一系列截面，则根据该自治系统的 性质，每个截面上只有一个交点，即相轨线一次 性的穿过每一个截面。 因 t 2n ，若以2 为周长，将相空间弯成 一圆环，则在该环形相空间上所取的任一固定截面 称为彭加勒截面。
m
4
若 为任意值， (sin ) 而 sin(1 2 ) sin 1 sin 2
A
故自由单摆为非线性振动系统：
O
令
d ，以及 t 0, 0 , 0 ， dt
d g sin 2 dt l
2

N
l
m
则上式变为
2g 2 2 2cos 1 cos 0 0 l 2
8
三、混沌的基本概念
1. 混沌定义（物理学上）：在确定性系统中所表现出 来的内在随机行为。是一个决定论的系统中所存在的 运动的不可预测性。 2. 相图 ●描述系统运动的各状态参量之间的关系图。 例：自由单摆（简谐振动）
d 2 0 2 dt A cos t , Asin t
2

O

★简谐振动是周期运动，每隔一定的时间运动又复原， 所以相轨线 ( 为一闭合曲线。 )
9
3. 自治系统与非自治系统
●不显含时间 t 的动力学方程称为自治系统，而显含 时间 t 的动力学方程称为非自治系统。
★由线性单摆 方程可得
（角谐振动）
不显含 t ，在二维相 2 空间中为自治系统。
g F m l sin ml cos t
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★由受阻力 和周期策动 力作用的非 线性单摆方 程可得
显含 t ，在二维相空间中为非自治系统。
引入新变量 = t ，可将方程化为三维相空间中的 自治系统：
g F sin cos m l ml
非线性振动系统及混沌的基本概念
概述：混沌的发现 ●非线性系统的运动现象 ●蝴蝶效应 1961年冬的一天，美国麻省理工学院的气象学家爱德 华·洛仑兹在计算机上模拟天气情况，他的真空管计 算机速度约每秒做6次乘法。 经 y x) y (r z ) x y z xy bz



相轨线
2n
2
三维相空间
2(n 1)
2n
环形相空间
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讨论：
●单周期振动，每隔2运动状态复原， 即相轨线每次都从同一点穿过彭加勒截 面，★在彭加勒截面图上只有一个不动 点； ●倍周期的运动，彭加勒截面图上有 两个不动点； …。 ●运动无周期性，则彭加勒截面图上有无穷多个点。
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四、单摆与混沌
d 2x dx 单摆方程 ml l mg sin x F cos t 2 dt dt 1 按泰勒级数 sin x x x 3 取前两项近似， 6