2015-2015学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）
数学Ⅰ
2016.3
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

1. 已知集合}3{R x x x A ∈<=，丨，}1
{R x x x B ∈>=，丨，则=B A . 2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足i i
z 34=+，则复数z 的模为 . 3. 一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40，0.125，
则n 的值为 .
4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知方程1242
2=+--m
y m x 表示双曲线，则实数m 的取值范围为 .
5. 为强化安全意识，某校模拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行紧急疏
散演练，则选择的2天恰好为连续2天的概率是 .
6. 执行如图所示的程序框图，输出的x 值为 .
7. 如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 是棱1BB 的中点，则四棱锥
C C AA P 11-的体积为 .
8. 设数列}{n a 是首项为1，公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4
S 成
等比数列，则数列}{n a 的公差为 . 9. 在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数x
x x f 4)(2+=)0(>x 的图像上的任意一点，
过M 点向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则=⋅MB MA .
10. 若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是 . 11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆056:2
2=+-+x y x C 相交于不同的两点A ，B ，
若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为 . 12. 已知函数⎩⎨⎧≤≤+-<≤+-=，，
，，642)2(log 404)(22x x x x x x f 若存在R x x ∈21，，当64021≤≤<≤x x 时，)()(21x f x f =，则)(21x f x 的取值范围是 .
13. 已知函数a x f x +=-12)(，)1()(x bf x g -=，其中R b a ∈，，若关于x 的不等式)()(x g x f ≥的解的最小值
为2，则a 的取值范围是 .
14. 若实数y x ，满足44442222=++-y x y xy x ，则当y x 2+取得最大值时，
y
x 的值为 .
15.（本小题满分14分） 已知函数)62sin(3)32sin()(π
π--+=x x x f . （1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；
（2）当]3
6[ππ，-∈x 时，试求)(x f 的最值，并写出取得最值时自变量x 的值.
16.（本小题满分14分）
如图，已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是平行四边形，ABCD PA 平面⊥,M 是AD 的中点，N 是PC 的中点.
（1）求证：PAB MN 平面∥；
（2）若PAD PAB 平面平面⊥，求证AD CM ⊥.
17.（本小题满分14分）
如图是某设计师设计的Y 型饰品的平面图，其中支架OC OB OA ，，两两成︒120，1=OC ，OC OB AB +=，且
常数）；在AOC △区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N ，且N 与AOC △的面积成正比，比例系数为k 34.设x OA =，y OB =.
（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；
（2）求M N -的最大值及相应的x 的值.
18.（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 过点)231(，P ，离心率为21. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.
①若直线l 过椭圆C 的右焦点，记ABP △三条边所在直线的斜率的乘积为t ，求t 的最大值；
②若直线l 的斜率为
2
3，试探究22OB OA +是否为定值，若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由.
19.（本小题满分16分）
设函数)71828.2)(ln 2()(2是自然对数的底数为实常数， =--=-e k x x k e x x f x .
（1）当1=k 时，求函数)(x f 的最小值；
20.（本小题满分16分）
已知首项为1的正项数列}{n a 满足n n n n a a a a 12212
5++<+，*N n ∈. （1）若2
32=a ，x a =3，44=a ，求x 的取值范围； （2）设数列}{a 是公比为q 的等比数列，S 为数列}{a 前n 项的和.若S S S 21
<<，求q 的取值范围；
（3）若）（，，，3
21≥k a a a k 成等差数列，且12021=k a a a ，，， ，求正整数k 的最小值，以及k 取最小值时相应数列k a a a ，，， 21的公差.
数学Ⅱ（附加题）
21.【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.
A.选修4—1：几何证明选讲
如图，直线AB 与圆O 相切于点B ，直线AO 交圆O 于D ，E 两点，DE BC ⊥，
垂足为C ，且DC AD 3=，2=BC ，求圆O 的直径.
B.选修4—2：矩阵与变换
设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2001M ，⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=10021N ，试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下得到的曲线方程.
C.选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为)(23,213为参数t t y t x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为θρsin 32=.设P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的直角坐标.
D.选修4—5：不等式选讲 已知函数63)(+=x x f ，x x g -=14)(，若存在实数x 使a x g x f >+)()(成立，求实数a 的取值范围.
【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分.
22.（本小题满分10分）
如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，221===AD AB AA ，E 为AB 中点，F 为
E D 1上的一点，FE
F D 21=.
（1）证明：平面⊥DFC 平面EC D 1；
（2）求二面角C DF A --的大小.
23.（本小题满分10分）
在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如右图所示.
（1）在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为5:4:3?若存在，试求出是第几行，若不存在，请说明理由；
（2）已知n ，r 为正整数，且3+≥r n .
求证：任何四个相邻的组合数r n C ，1+r n C ，2+r n C ，3+r n C 不能构成等差数列.。