2014 年江西省中等学校招生考试数学试题（含答案全解全析）第Ⅰ卷(选择题, 共 18分)一、选择题 ( 本大题共 6 小题 , 每题 3 分 , 共 18 分 . 每题只有一个正确选项)1.下列四个数中 , 最小的数是 ()A.-B.0C.-2D.22. 某市 6 月份某周气温 ( 单位 : ℃) 为 23,25,28,25,28,31,28, 则这组数据的众数和中位数分别是 ( )A.25,25B.28,28C.25,28D.28,313. 下列运算正确的选项是 ( )A.a 2+a3=a5B.(-2a 2) 3=-6a 62D.(2a 3 2 2C.(2a+1)(2a-1)=2a -1 -a ) ÷a=2a-14. 直线 y=x+1 与 y=-2x+a 的交点在第一象限, 则 a 的取值能够是 ( )A.-1B.0C.1D.25. 如图 , 贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩, 做好后发现上口太小了, 于是他把纸灯罩对齐压扁 , 剪去上面一截后 , 正好合适 . 以下裁剪示意图中 , 正确的选项是 ( )6. 已知反比率函数y=的图象如下图, 则二次函数y=2kx 2-4x+k 2的图象大概为()第Ⅱ卷 ( 非选择题 , 共 102 分)二、填空题 ( 本大题共8 小题 , 每题 3 分, 共 24 分)7.计算: =.8.据有关报道 , 截止到今年四月 , 我国已达成 5.78 万个乡村教学点的建设任务 .5.78 万可用科学记数法表示为.-9. 不等式组的解集是.-)2 2 2.10. 若α β是方程 x -2x-3=0 的两个实数根 , 则α +β =11.如图 , 在△ ABC中 AB=4 BC=6 ∠B=6 °将△ ABC 沿射线 BC的方向平移 2 个单位后 , 得到12. 如图△ABC内接于☉ O AO= BC=, 则∠ BAC的度数为.13. 如图 , 是将菱形 ABCD以点 O为中心按顺时针方向分别旋转° 8° 7°后形成的图形 . 若∠ BAD=6 ° AB=则图中阴影部分的面积为.14.在 Rt△ABC中∠A= °有一个锐角为 6 ° BC=6. 若点 P 在直线 AC上 ( 不与点 A,C 重合 ), 且∠ ABP= °则CP的长为.三、 (本大题共4小题, 每题 6 分,共 24 分)15.计算--÷-.-16. 小锦和小丽购置了价钱分别相同的中性笔和笔芯 . 小锦买了 20 支笔和 2 盒笔芯 , 用了 56 元 ; 小丽买了 2 支笔和 3 盒笔芯 , 仅用了 28 元 . 求每支中性笔和每盒笔芯的价钱 .17.已知梯形 ABCD,请使用无刻度直尺绘图 .(1)在图 1 中画一个与梯形 ABCD面积相等 , 且以 CD为边的三角形 ;(2)在图 2 中画一个与梯形 ABCD面积相等 , 且以 AB为边的平行四边形 .18.有六张完全相同的卡片,分 A,B 两组,每组三张,在 A 组的卡片上分别画上“√ × √” B组的卡片上分别画上“√× ×” 如图 1 所示 .(1) 若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上, 再分别从两组卡片中随机各抽取一张, 求两张卡片上标记都是“√”的概率( 请用“树形图法”或“列表法”求解);(2) 若把 A,B 两组卡片无标记的一面对应粘贴在一同得到三张卡片, 其正、反面标记如图．．．．所示 , 将卡片正面朝上摆在桌上 , 并用瓶盖遮住标记 . ①若随机揭开其中一个盖子 , 看到的标记是“√”的概率是多少 ?②若揭开盖子 , 看到的卡片正面标记是“√”后, 猜想它的反面也是“√”求猜对的概率2 .四、 (本大题共3小题, 每题 8 分,共 24 分)19. 如图 , 在平面直角坐标系中 , 点 A,B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上 ,OA=4,AB=5. 点 D在反比率函数 y=(k>0) 的图象上 DA⊥OA 点 P 在 y 轴负半轴上 ,OP=7.(1)求点 B 的坐标和线段 PB的长 ;(2)当∠ PDB= °时 , 求反比率函数的解析式 .20. 某教研机构为认识在校初中生阅读数学教科书的现状, 随机抽取某校部分初中学生进行了检查 . 依据有关数据绘制成以下不完整的统计图表, 请根据图表中的信息解答下列问题:某校初中生阅读数学教科书统计图表类别人数占总人数比率重视a0.3一般57 0.38不重视 b c说不清楚9 0.06(1)求样本容量及表格中 a,b,c 的值 , 并补全统计图 ;(2) 若该校共有初中生 2 300 名 , 请估计该校“不重视阅读数学教科书”的初中生人数; ) ①根据上面的统计结果, 谈谈你对该校初中生阅读数学教科书的现状的见解及建议;②如果要认识全省初中生阅读数学教科书的情况, 你认为应该怎样进行抽样?21. 图 1 中的中国结挂件是由四个相同的菱形在极点处依次串接而成, 每相邻两个菱形均成°的夹角 , 示意图如图 2 所示 . 在图 2 中 , 每个菱形的边长为10 cm, 锐角为 6 °.(1)连接 CD,EB,猜想它们的位置关系并加以证明;(2) 求 A,B 两点之间的距离( 结果取整数 , 能够使用计算器).( 参照数据 :≈ .4≈ .76≈.45)五、 (本大题共2小题, 每题 9 分,共 18 分)22.如图 1,AB 是☉O的直径 , 点 C在 AB的延伸线上 ,AB=4,BC=2,P 是☉O上半部分的一个动点 ,．．．．连接 OP,CP.(1)求△ OPC的最大面积 ;(2)求∠ OCP的最大度数 ;(3)如图 2, 延伸 PO交☉O于点 D,连接 DB.当 CP=DB时, 求证 :CP 是☉O 的切线 .23.如图 1, 边长为 4 的正方形 ABCD中 , 点 E 在 AB边上 ( 不与点 A,B 重合 ), 点 F 在 BC边上 ( 不与点 B,C 重合 ).第一次操作 : 将线段 EF 绕点 F 顺时针旋转 , 当点 E 落在正方形上时, 记为点 G;第二次操作 : 将线段 FG绕点 G顺时针旋转 , 当点 F 落在正方形上时 , 记为点 H; 依此操作下去备用图(1) 图 2 中的△ EFD 是经过两次操作后得到的, 其形状为, 求此时线段 EF 的长 ;(2) 若经过三次操作可得到四边形EFGH.①请判断四边形 EFGH的形状为, 此时 AE与 BF 的数量关系是;②以①中的结论为前提 , 设 AE的长为 x, 四边形 EFGH的面积为 y, 求 y 与 x 的函数关系式及面积 y 的取值范围 .六、 (本大题共12分)24. 如图 1, 抛物线 y=ax 2+bx+c(a>0) 的极点为 M,直线 y=m与 x 轴平行 , 且与抛物线交于点A,B, 若△ AMB为等腰直角三角形, 我们把抛物线上A,B 两点之间的部分与线段AB围成的图形 ( 如图 2) 称为该抛物线对应的准碟形 , 线段 AB称为碟宽 , 极点 M称为碟顶 , 点 M到线段 AB的距离称为碟高 .(1) 抛物线 y= x2对应的碟宽为; 抛物线y=4x 2对应的碟宽为; 抛物线y=ax 2(a>0) 对应的碟宽为; 抛物线 y=a(x-2) 2 +3(a>0) 对应的碟宽为;(2) 若抛物线 y=ax2-4ax- 5 (a>0) 对应的碟宽为 6, 且在 x 轴上 , 求 a 的值 ;(3) 将抛物线 y =a x +b x+c (a >0) 对应的准碟形记为 F n= ) 定义 F ,F F 为相nn 2n nn n 12 n似准碟形 , 相应的碟宽之比即为相像比 . 若 F n与 F n-1的相像比为 , 且 F n的碟顶是 F n-1的碟宽的中点 , 现将 (2) 中求得的抛物线记为 y1, 其对应的准碟形记为 F1. ①求抛物线 y2的表达式 ;②若 F1的碟高为 h1 ,F 2的碟高为 h2 F n的碟高为 h n, 则 h n=,F n的碟宽右端点横坐标为;F 1,F 2 F n的碟宽右端点是否在一条直线上?若是 , 直接写出该直线的表达式; 若不是 , 请说明原因 .备用图答案全解全析：一、选择题1.C 因为 -2<- <0<2, 所以最小的数是 -2, 应选 C.2.B 把这组数据从小到大排列为23,25,25,28,28,28,31, 出现次数最多的是28, 所以这组数据的众数是28; 因为最中间的一个数是28, 所以中位数是28, 应选 B.3.DA项 2 3 5 此选项错误;B 项,a +a ≠a,项 ,(2a+1)(2a-1)=(2a) 2 2 2此选项错误-1 =4a -1,,(-2a 2) 3=(-2) 3· a 2) 3=-8a 6, 此选项错误 ;C .应选 D.-4.D 联立解得--因为两直线的交点在第一象限, 所以解得 a>1, 应选 D.5.A 由圆台的侧面展开图可得A正确 , 应选 A.评析此题考察简单几何体的侧面展开图, 属容易题 .6.D 由反比率函数图象可知k<-1, 所以抛物线开口向下, 且与 y 轴的交点位于点(0,1) 上方 ,- 4评析此题考察反比率函数和二次函数的图象和性质, 属难题 .二、填空题7.答案 3解析= =3.8. 答案45.78 ×4.解析 5.78 万=5.78 ×9.答案 x>-①解析) 解不等式①得x> ; 解不等式②得x>-2, 所以原不等式组的解集为- ②x> .10.答案 10解析因为α 、β是方程x2-2x-3=0的两个实数根,所以α+β=αβ=-3,故α2+β2= α+β)2- αβ = 2- × -3)=10.评析此题考察一元二次方程的根与系数的关系, 属容易题 .11.答案 12解析∵B'C'=BC=6 CC'=∴B'C=B'C'-CC'=4,∵A'B'=AB=4 ∴B'C=A'B'又∵∠ A'B'C=∠B=6°∴△ A'B'C是等边三角形∴△ A'B'C的周长是12.评析此题考察平移变换和等边三角形的性质, 属容易题 .12.答案 6°解析连接 OB、 OC,作 OD⊥BC 于点 D,由垂径定理可得,BD=CD=∴OD=- B =1,∵s in ∠OBD= ∴∠ OBD= ° ∴∠ BOC= °则∠ BAC= ∠BOC=6°.评析此题考察垂径定理和圆周角与圆心角之间的关系, 属容易题 .13. 答案12-4解析连接 OB,OA,作 AE⊥OB 可得∠ BOA=45° ∠EAO=45°进而可得AE= ,BE=1,OE=AE=, 所以S△OAD=S△OAB-S △ABD= -, 所以 S 阴影 =8S△OAD=12-4.14.答案2或4或6解析图 1 中∠ABC=6 ° BC=6 则AB=3,AC=3 , 又∠ ABP= °则AP= , 所以 CP=2或CP=4 ;图2中,∵∠ ACB=6 ° ∠ABP= ° ∴△ CBP 是等边三角形∴CP=CB=6.图1 图2三、解答题--15. 解析- ÷ -- - ) = ·(4分)-=x-1.(6 分 )16. 解析设每支中性笔 x 元 , 每盒笔芯 y 元 ,根据题意得56(3 分)8.解这个方程组 , 得8.答 : 每支中性笔 2 元, 每盒笔芯 8 元.(6 分) 17. 解析 (1) 如下图 △CDE 即为所求 .( 答案不唯一 )(3 分)(2) 如下图 , ? ABFE 即为所求 .( 答案不唯一 )(6 分)18. 解析 (1) 解法一 : 根据题意 , 可画出如下树形图 :从树形图能够看出 , 所有可能结果共有 9 种 , 且每种结果出现的可能性相等, 其中两张卡片上标记都是“√”的结果有 2 种 , ∴P 两张都是“√” )=.(4 分)解法二 : 根据题意 , 可列表如下 :B 组 √××A 组√ √ √) √ ×) √ ×) × × √) × ×) × ×)√√ √)√ ×)√ ×)从上表能够看出 , 所有可能结果共有 9 种 , 且每种结果出现的可能性相等, 其中两张卡片上标记都是“√”的结果有 2 种 ,∴P 两张都是“√” )= .(4分)) ①∵三张卡片上正面的标记有三种可能, 分别为“√× √”∴随机揭开其中一个盖子, 看到的标记是“√”的概率为.(5分)②∵正面标记为“√”的卡片, 其反面标记情况有两种可能, 分别为“√”和“×”∴猜对反面也是“√”的概率为.(6分)四、解答题19. 解析(1) 在 Rt△OAB中 ,OA=4,AB=5,∴OB= -O= 5 -4 =3.∴点 B 的坐标为 (0,3).(2分)∵OP=7∴P B=OB+OP= +7= . 分 )(2)过点 D 作 DE⊥OB 垂足为点 E,由 DA⊥OA可得矩形 OADE.∴D E=OA=4∠BED= °.∴∠ BDE+∠EBD= °.又∵∠ BDP= °∴∠ BDE+∠EDP= °.∴∠ EBD=∠EDP.∴△ BED∽△ DEP. 4分)∴=.设点 D(4,m), 由 k>0, 得 m>0,则有 OE=AD=m,BE=3-m,EP=m+7,- 4∴4= 7.解得 m1=1,m2=-5( 不合题意 , 舍去 ).(6分)∴m= 点 D 的坐标为 (4,1).∴k=4 反比率函数的解析式为y=4.(8分)20.解析 (1) 由统计表可知 , 样本容量为 57÷ . 8= 5 . ∴a= 5 × . =45c=1-0.3-0.38-0.06=0.26,b= 5 × . 6= .分)补全统计图如下图.(4 分) )×.6=58人),∴该校“不重视阅读数学教科书”的初中生人数约为598 人.(6分)) ①从该校初中生重视阅读数学教科书的人数比率来看, 该校初中生对阅读数学教科书的重视程度不够, 建议数学教师在课内外加强引导学生阅读数学教科书, 逐步提高学生数学阅读能力 , 重视数学教材在数学学习过程中的作用;②考虑到样本具有的随机性、代表性和宽泛性, 要认识全省初中生阅读数学教科书的情况, 抽样时要选择城市、乡镇不同层次的学校.(8分)( 只需给出合理建议即可给分)21.解析)CD ∥EB.分)证明 : 连接 AC,DE.∵四边形AGCH是菱形 , 且∠ GCH=6°∴∠ =∠GCH=°.同理∠=°.∴∠ ACD= °.分)同理可得∠ CDE=∠DEB= °.∴CD∥EB.分)(2)解法一 :连接 AD,BD,AC,CD,DE,BE.由 (1) 知∠ ACD= °.∵CA=CD∴∠ CDA=∠CAD=45°.同理∠EDB=∠EBD=45°又由 (1) 知∠ CDE= °.∴∠ CDA+∠CDE+∠EDB= 8 °即点 A,D,B 在同一直线上 .(4分)连接 GH交 AC于点 M.由菱形的性质可知∠ CMH= ° CM=AC.在 Rt△CMH中 CM=CH·cos∠ =·cos°=5,∴CD=AC= CM=.(6分)∴在 Rt△ACD中 ,AD= C =10 6.(7 分 )同理 ,BD=10 6.∴A B=AD+DB= 6≈ × .45=4 .答 :A,B 两点之间的距离约为49 cm.(8分)解法二 : 连接 CD,DE,AB,延伸 AC交 BE的延伸线于点 F.由 (1) 知∠ ACD=∠CDE=∠DEB= °∴四边形 CDEF是矩形 .∵四个菱形全等 ,∴AC=CD=DE=EB.∴四边形 CDEF是正方形 .(4 分 )∴CF=FE=CD且∠ F= °.∴AF=BF= AC. 5 分 )在菱形 AGCH中, 连接 GH交 AC于点 M,∴AC⊥GH.在 Rt△CMH中 CM=CH·cos∠ = ·cos °=5,(6 分)∴AC= CM=,AF=BF=2AC=20 .(7 分)∴在 Rt△AFB 中 ,AB=B =20 6≈× .45=4 .答 :A,B 两点之间的距离约为49 cm.(8 分 )五、解答题22.解析) ∵△ OPC的边长 OC是定值 ,∴当 OP⊥OC时,OC 边上的高为最大值, 此时△ OPC的面积最大 .(1分) ∵A B=4 BC=∴OP=OB= OC=OB+BC=4.∴S△OPC=OC·OP= ×4× =4.∴△ OPC的最大面积为 4.(2 分 )(2)当 PC与☉O相切 , 即 OP⊥PC 时∠OCP的度数最大 .(3 分)在 Rt△OPC中∠OPC= ° OC=4 OP=∴s in ∠OCP== .∴∠ OCP= °. ∴∠ OCP 的最大度数为°. 5分)(3) 连接 AP,BP.∵∠ AOP=∠DOB∴A P=DB. 6 分 )∵CP=DB∴A P=PC.∴∠ A=∠C.∵∠ A=∠D∴∠ C=∠D. 7分)∵O C=PD=4 PC=DB∴△ OPC≌△ PBD.∴∠ OPC=∠PBD. 8分)∵PD是☉O 的直径 ,∴∠ PBD= °.∴∠ OPC= °.∴OP⊥PC.又∵ OP是☉O的半径 ,∴CP是☉O 的切线 .(9分)23.解析 (1) 等边三角形 .(1 分 )∵四边形ABCD是正方形 ,∴A D=CD=BC=AB∠ A=∠B=∠C= °.∵DE=DF∴R t△ADE≌Rt△CDF.∴A E=CF.∴B E=BF.∴△ BEF 是等腰直角三角形.设 EF长为 x, 则 BE= x,∴A E=4- x.∵在 Rt△ADE中 ,DE2=AD2+AE2,DE=EF,∴2=42+ 4- .(2 分 )∴2+8 x-64=0.解得 x =-4 +4 6,x =-4 -4 6( 不合题意 , 舍去 ).1 2∴E F=-4 +4 6.(3 分)) ①正方形 ;AE=BF.(5 分 )②∵ AE=∴B E=4-x.∵在 Rt△BEF 中 ,EF 2=BE2+BF2,2 2 2分)∴y= 4 -x) +x =2x -8x+16(0<x<4).(7∵y= 2-8x+16=2(x-2) 2+8,∴当 x=2 时 ,y 取得最小值8; 当 x=0 时 ,y=16.∴y的取值范围是8≤y< 6.分)六、解答题24. 解析(1)4; ; ; .(4分)(每空1分)(2) 解法一 : 由(1) 可知 , 抛物线 y=ax2+bx+c(a>0) 对应的碟宽为, 所以 =6,a= .(6分)解法二 :y=ax 2-4ax- 5=a(x-2) 2-4a-5∵碟宽在x 轴上 ,∴碟高 -4a- 5 6又 a>0, 解得 a= .(6 分) = =3,(3 ) ①由 (2) 知,y 1= (x-2) 2-3, 碟顶 M1的坐标为 (2,-3). ∵F的碟顶是 F 的碟宽的中点 ,2 1∴F2 的碟顶 M2的坐标为 (2,0), 可设 y2=a2(x-2) 2.∵F2 与 F1的相像比为,F 1的碟宽为 6,∴F2 的碟宽为6× =3, 即 =3,a 2= .∴y2= (x-2) 2 2 8 8= x - x+ .(8 分 )②- ;2+ - .(10 分)F1,F 2 F n的碟宽右端点在一条直线上, 该直线的表达式为y=-x+5.(12分)。