东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测
高三数学 （理科）
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。
（1）已知集合{0,1}A =，2{|4}B x x =≤ ，则A
B =
（A ）{0,1} （B ） {0,1,2} （C ）{|02}x x ≤< （D ）{|02}x x ≤≤ （2）在复平面内，复数
i
1+i
对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）设a ∈R ，则“2
a a >”是“1>a ”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（4）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若493=+a a ，则11S 等于
（A ）12 （B ）18 （C ）22 （D ）44 （5）当4n =时，执行如图所示的程序框图，
输出的S 值为 （A ）6 （B ）8 （C ）14 （D ）30
（6）已知函数
1
3
log,0,
()
2,0,
x
x x
f x
x
>
⎧
⎪
=⎨
⎪≤
⎩
若
1
()
2
f a>，则实数a的取值范围是
（A）(1,0)(3,)
-+∞（
B）(1
-
（C）
3
(1,0)(,)
3
-+∞（D）(1,)
3
-
（7）在空间直角坐标系O xyz
-中，一个四面体的顶点坐标为分别为(0,0,2)，(2,2,0)，(0,2,0)，(2,2,2)．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为
（A）（B）（C）（D）
（8）已知圆22
:2
C x y
+=，直线:240
l x y
+-=，点
00
(,)
P x y在直线l上．若存在圆C 上的点Q，使得45
OPQ
∠=（O为坐标原点），则
x的取值范围是（A）[0,1]（B）
8
[0,]
5
（C）
1
[,1]
2
-（D）
18
[,]
25
-
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若抛物线22(0)
y px p
=>的焦点到其准线的距离为1，则该抛物线的方程为
．
（10）若实数,x y满足
10,
10,
3,
x y
x y
x
-+≥
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪≤
⎩
则3
z x y
=-的最大值为_______．
（11
）在△ABC中，3
a=，b60
B=，则c=；△ABC的面积为_______．
（12）已知向量a，b不共线，若（λ+
a b）∥（2
-
a b），则实数λ=_______．
（13）已知函数)
(x
f是R上的奇函数，且)2
(+
x
f为偶函数．若1
)1(=
f，则=
+)9(
)8(f
f．
（14）如图，在四棱锥ABCD
P-中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形,
2
PD AD
==，M，N分别为线段AC上的点．若︒
=
∠30
MBN，则三棱锥
M PNB -体积的最小值为 .
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
已知函数()sin()(,0,0,||)2
f x A x x A ωϕωϕπ
=+∈>><R 部分图象如图所示． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移
6
π
个单位长度得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在区间[0,2
π
上的最大值和最小值．
（16）（本小题共13分）
已知数列{}n a 是等差数列，满足23a =，56a =，数列{2}n n b a -是公比为3等比数列，且2229b a -=．
（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S ．
C
B
P
（17）（本小题共14分）
如图，PA⊥平面ABC，AB BC
⊥，22
AB PA BC
===，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角A PC B
--的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD AC
⊥，并求
PD
PC
的值．
（18）（本小题共14分）
已知函数
2
()(21)ln
f x ax a x
x
=-+-，
2
()2ln
g x a x
x
=--，其中a∈R．
（Ⅰ）当2
a=时，求曲线()
y f x
=在点(1,(1))
f处的切线方程；
（Ⅱ）当0
a>时，求)
(x
f的单调区间；
（Ⅲ）若存在2
1
[,e]
e
x∈，使得不等式()()
f x
g x
≥成立，求a的取值范围．
（19）（本小题共13分）
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x
轴上，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为
1
2
的直线l交椭圆C于A，B两点，求证：2
2|
|
|
|PB
PA+为定值．
（20）（本小题共13分）
对于数列123:,,(,1,2,3)i A a a a a i ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ，其中1||(1,2)i i i b a a i +=-=，且331||b a a =-.继续对数列B 进行“T 变换”，得到数列123:,,C c c c ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束.
（Ⅰ）试问数列:2,6,4A 经过不断的“T 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T 变换”
得到的各数列；若不能，说明理由；
（Ⅱ）设数列123:,,A a a a ，对数列A 进行“T 变换”，得到数列:,2,()B b a a b ≥，若数列B
的各项之和为2014，求a ，b 的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若数列B 再经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小，求k 的
最小值，并说明理由.。