2018—2018学年 高三年第一次统一考试 试卷（理科数学）考试时间：120分钟 试卷总分：150分 本试卷分第I 卷和第II 卷两部分第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。

1、已知集合{}2,R A x x x =≤∈，{}4,Z B x =∈，则A B =A.()0,2B.[]0,2 C.{}0,2 D.{}0,1,22、设变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-,33,1,1y x y x y x 则目标函数y x z +=4的最大值为（ ）A. 4 B .11 C . 12 D . 143、下列命题 ：①2x x x ∀∈,≥R ；②2x x x ∃∈,≥R ； ③43≥； ④“21x ≠”的充要条件是“1x ≠,或1x ≠-”. 中,其中正确命题的个数是 （ ）A. 0 B.1 C. 2 D. 34、要得到函数x y 2cos =的图象，只需将函数)32sin(π-=x y 的图象（ ）A 、向左平移B 、向右平移C 、向左平移D 、向右平移 5、已知函数2()(32)ln 20082009f x x x x x =-++-，则方程()0f x =在下面哪个范围内必有实根（ ）A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(2,4)6、 要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入人家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况。

宜采用的抽样方法依次为（ ） A ．①随机抽样法，②系统抽样法 B ．①分层抽样法，②随机抽样法C ．①系统抽样法，②分层抽样法D ．①②都用分层抽样法永春一中 培元中学 季延中学 石狮联中 π65π65π125π1257、α，β为两个互相垂直的平面，a 、b 为一对异面直线，下列条件：①a //α、b β⊂；②a ⊥α、b β//；③a ⊥α、b β⊥；④a //α、b β//且a 与α的距离等于b 与β的距离，其中是a ⊥b 的充分条件的有 （ ） A ．①④ B ．① C ．③ D ．②③ 8、在ABC ∆中，A B C 、、是三角形的三内角，a b c 、、是三内角对应的三边，已知222b c a bc +-=, 222sin sin sin A B C += . 则角B 为 （ ）A4π B 6π 312CDππ９、函数R x x x x f ∈+=,)(3，当20πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,0B ．()0,∞-C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21, D ．()1,∞-１０、一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路程是（ ）A ．1B ．．4 D ．5第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．。

11、62)x展开式中，常数项是__________12、若||||1a b == ，a b ⊥ 且(23)a b +⊥ (k 4a b -)，则实数k 的值为13、设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =， 则111213a a a ++=_____. 14、⎰--2224dx x =________.15、甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b,且a,b ∈{1，2，3，4},若|a -b| ≤1,则称甲乙”心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏,得出他们”心有灵犀”的概率为 （分式表示） 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

请在答题卡各自题目的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．。

16.（本小题满分13分）已知(sin ,cos )a x x =，)cos ,(cos x x b =，f (x )=b a ∙⑴ 求f (x )的最小正周期和单调增区间；⑵ 如果三角形ABC 中，满足f (A )=12，求角A 的值． 17.（本小题满分13分）已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=12AB ，N 为AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点.（Ⅰ）证明：CM ⊥SN ；（Ⅱ）求SN 与平面CMN 所成角的大小.18.（本小题满分13分）数列1313{}5, 4.n b b b b +==是递增的等比数列,且b （I ）求数列{}n b 的通项公式；（II ）若2123log 3,42,n n m a b a a a a m =+++++≤ 且求的最大值。

19.（本小题满分13分）过椭圆221164x y +=内一点M(1，1)的弦AB (1）若点M 恰为弦AB 的中点，求直线AB 的方程； （2）求过点M 的弦的中点的轨迹方程。

20.（本小题满分14分） 已知函数.23)32ln()(2x x x f -+= （1）求f (x )在[0，1]上的极值；（2）若对任意0]3)(ln[|ln |],31,61[>+'--∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取值范围；（3）若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，2]上恰有两个不同的实根,求实数b 的取值范围. 21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7份，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分. 选修4系列（本小题满分14分）（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐标伸长到倍的伸压变换．（Ⅰ）求矩阵的特征值及相应的特征向量；（Ⅱ）求逆矩阵以及椭圆22149x y +=在的作用下的新曲线的方程．(2) （本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程cos()4πρθ-C 的参数方程为2cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），求曲线C 截直线l 所得的弦长（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 已知1a b c ++=，且a 、b 、c 是正数，求证：2229a b b c c a++≥+++.2018届高三年四校联考数学（理）科试卷参考答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1、D2、B3、C4、C5、B6、B7、C8、B9、D 10、B 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11、６０ 12、6 13、118 14、2π 15、58三、解答题：（16-19题各13分，20-21题各14分，共80分） 16、解：⑴f (x )= sin x cos x +x 2cos =21x 2sin +x 2cos 2121+=22sin(2x+4π)+21…4分最小正周期为π，…………………5分单调增区间[k π-83π,k π+8π]（k ∈Z ）……………………7分 ⑵由21)(=A f 得sin(2A+4π)=0, 4π<2A+4π<49π,……………10分∴2A+4π=π或2π∴A =83π或87π…………………… 13分17．（本小题满分13分）解：17.证明：设PA=1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴正向建立空间直角坐标系如图。

则P （0,0,1），C （0,1,0），B （2,0,0），M （1,0,12），N （12,0,0），S （1,12,0）. 4分 （Ⅰ）111(1,1,),(,,0)222CM SN =-=-- ,因为110022CM SN ∙=-++= ，所以CM ⊥SN ……6分（Ⅱ）1(,1,0)2NC =- ,设a=（x ，y ，z ）为平面CMN 的一个法向量，则10,2210.2x y z x x y ⎧-+=⎪⎪=⎨⎪-+=⎪⎩令，得a=(2,1,-2). ……9分 永春一中 培元中学 季延中学 石狮联中因为cos ,2a SN ==所以SN 与片面CMN 所成角为45°。

……13分18. 解：（I ）由13213134,5405b b b b x x b b =⎧-+=⎨+=⎩知是方程的两根， 注意到1133, 4.n n b b b b +>==得221321234 2.1,2,4b b b b b b b ∴===∴===得11211{}2,2n n n n b b b b q b --∴=∴==等比数列的公比为…………6分 （II ）122log 3log 3132n n n a b a n n -=+=+=-+=+121222[(1)2][2]1,{}3,1(1)31342225840,127,n n n m a a n n a m m m ma a a m m m m m +-=++-+=∴--++++=⨯+⨯=+≤+-≤-≤≤ 数列是首项为公差为的等差数列.a 整理得解得 m ∴的最大值是7 ………………13分19. 解：(1）设直线AB 的斜率为k ，则AB 的方程可设为)1(1-=-x k y 。

⎪⎩⎪⎨⎧=++-=14161)1(22y x x k y 得16)1(422=-++k kx x 得016)1(4)1(8)41(22=--+-++k x k k x k ………3分设，，则A x y B x y x x k k k (,)(,)(),11221228114+=-+而（，）是中点，则。

M AB x x 112112+= 综上，得，解得。

81142142k k k k ()-+==-∴-=--+-=直线的方程为即。

AB y x x y 1141450(),………7分另法（直接求k ）：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)。

由，在椭圆上，得……（）与……（）A B x y x y 121222221641116412+=+=（）—（），得21x x y y 221222121640-+-=, 整理，得……y y x x k x x y y AB 21211212143--==++⋅-()() 又（，）是的中点，则，即M AB x x y y 1121211212+=+=, x x y y k AB 121222314+=+==-,，代入（），得。