生物模型:设生物群体的数量N 是时间t 连续函数. 物种捕食模型: 捕食者P 的存在依赖于被捕食者的存在, 增长率由于被捕食者N 的存在而增大, 没有被捕食者时将自然趋向死亡. 被捕食者N 的增长率由于捕食者P 的存在而减少, 模型为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=P N c r t
N P c r t N p n )(d dP )(d d 21 (12) 其中 21,,,c c r r p n >0是常数. 相空间为N ≥0, P ≥0, 奇点有两个, (0, 0) 和 (N *, P *) = )/,/(12c r c r n p , 当N , P 不等于零时, 轨道方程可由方程的两式消去d t 而得变量分离方程;
0d d d d 12=-+-P
P r P c N N r N c n p (13) 从点(N *, P *)积分到点(N , P )得
C P P P P r N N N N r P N H n p =--+--=]*
ln )1*[(]*ln )1*[(:),( (14) 由不等式 0ln 1:)(≥--=x x x f , 对任意x >0恒成立, 且当x 1≠ 时, 0)(>x f , )(x f 在),1[∞上从零严格单调增加到无穷大. )(x f 在]1,0(上从无穷大严格单调减少到零. 因此, ),(P N H 关于(N *,P *)点是定正函数, 且在从(N *,P *)点出发的任一射线上随着与(N *,P *)点的距离增加而从零严格单调增加至无穷大. 因此对于任一 C > 0, 轨道方程(14)表示一条闭轨, 对应于方程的周期解. 设其周期为T =T (C ), 我们可以证明在闭轨上N , P 的平均值分别为N *, P *.
证: ⎰⎰⎰==--=-0d 1)(d *)
(d )*(220P
P c P r N c P N N t N N p T
, 同理可证另一个关系式.
MATLAB 中解常微分方程(组)的程序ode45的用法:
[T,Y] = ODE45(@Fun,TSPAN,Y0)
% TSPAN = [T0 TFINAL] 解的定义区间(行向量)
% Y0 初始条件Y(0)=Y0, Y0是行向量
% Fun 是一个函数名, 其函数值是(列)向量场, 即微分方程dY/dt=F(t,Y) 的右边.
% 输出T 是一个列向量, 其分量T(k)为自变量的值, Y是矩阵Y(:,k) 是解的第k个分量在T的值，
% 若取TSPAN = [T0 T1 ... TFINAL] . 则将得到解在指定的时刻T0, T1, ..., TFINAL 的值
例: 要求解(12) ,可编程序如下:
设方程中各常数都等于1, 初始条件为N(0)=1, P(0)=2; 解的定义区间为[0,8], 则微分方程函数子程序为
function dydt=bushi(t,y) % 不显含t时，也要加上t
dydt=zeros(2,1); dydt(1)=(1-y(2))*y(1); dydt(2)=(-1+y(1))*y(2);
主程序为
y0=[1 2]; tspan=[0 6.7];
[T,y]=ode45(@bushi, tspan, y0);
plot(y(:,1), y(:,2));
上图是运行程序后的轨道图。