楚雄师范学院数学系《数学建模》课程
教学论文
题目：具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食模型
专业：信息与计算科学
班级：08级3班
学号：152
学生姓名：***
完成日期：2011 年 6 月
具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食模型
摘要：在自然界中，更多的生物是杂居在一起的，各种生物根据其生理特点、食物来源分成了不同的层次，各层次之间及同一层次的生物种群之间有着各样的联系，尤其是相互之间影响非常大的生物种群，需要放在一起讨论，在这里，我们一两种群为例进行建模和讨论，具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型。
捕食—食饵模型是数学生态学研究的重要内容,影响种群波动的因素很多,自身阻滞作用就是其中重要的一种因素。
因为资源环境是有限的，相互竞争是不可避免的，所以自身阻滞也是影响平衡位置的不稳定性和周期波动现象的主要因素。
时滞可以对生态系统的性质产生相当大的影响,理论生态学家们普遍认为在种群的相互作用中,自身阻滞作用是不可避免的。
本文主要通过对两类具有自身阻滞作用的典型的捕食-食饵模型的研究,通过分析发现时滞对模型的稳定性有非常重要的作用。
事实上只要在Volterra模型加入考虑自身阻滞作用的Logsitic项就可以得到这种现象了。
关键字：自身阻滞，稳定性分析，相轨线分析，平衡点分析，Logistic模型；
一.问题重述：
讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型，首先根据两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。
二．问题分析：
本论文主要是讨论具有自身阻滞作用的食饵—捕食者模型。
我们用Logistic模型来描述这个种群数量的演变过程，即食饵会受到自然界中的资源所限制，它不仅会无限的增大，而且捕食者也会受到食饵的数量的影响。
此种情况下会出现以下的3种现象：
1.当捕食者灭绝时，食饵也不会无限的增长，即指数函数型增长，因为有自身的阻滞作用，它达到某个数量就不在会增长而趋于稳定了；
2.当食饵受到自然资源的影响的灭绝时，捕食者也会因食物而灭绝；
3.当两种群都不灭绝时，它们会趋于某个非零的有限值，从而达到稳定状态。
三．模型假设：
1.假设在某特定环境中只存在食饵和捕食者两种群；
2.假设食饵和捕食者均能正常生长，没有疾病等原因促使死亡；
3.假设两种群的增长率不变；
4.食饵由于捕食者的存在使增长率降低，假设降低的程度与捕食者数量成正比；
5.捕食者由于食饵为它提供食物的作用使其死亡率降低或使之增长，假设增长的程度与食饵数量成正比。
四．符号说明：
()t x
：食饵在时刻t的数量；
1
()t
x
：捕食者在时刻t的数量；
2
R：食饵独立生存时以指数规律增长，相对增长率；
1
R：捕食者独立生存时以指数规律增长，相对增长率；
2
N：食饵生存的最大容量；
1
N：捕食者生存的最大容量；
2
1：食饵自身的竞争能力； 2：捕食者自身的竞争能力；
五．模型的建立及求解：
1.模型建立：
将食饵和捕食者在时刻t 的数量分别记为()t x ⋅
和()t y ⋅
，我们根据自身的阻滞增长作用，知道存在一定的规律，在Volterra 模型中加入考虑自身阻滞作用的Logistic 项，则根据前面的假设建立以下模型：
)1()(2
211111N x
N x x R t x
σ--= )1()(2
211222N x
N x x R t y
-+-=σ 2.模型求解：
根据数学建模的相关知识，利用数学软件MATLAB 求解。
下面对这两个个方程进行平衡点稳定性分析，即设
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=-+-==--=0)1(),(0)1(),(22
11222212
21111121N x N x x R x x g N x N x x R x x f σσ; 通过解这个方程组得到3个平衡点,分别是：
1P (0,0) , 2P (N,0) , )1)
1(,1)1((
2
12321113σσσσσσ+-++N N P ;
当1,0,121>≥σx x 时，21,x x 才有意义 按照平衡点稳定性的方法计算可知：
⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-+--
--=
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)21()21(221122122221112
2111121
21
N x N x R N x R N x R N x N x R g g f f A x x
x x σσσσ )
(21x x g f P +-=|
3
,2,1=i pi
,
.3,2,1|det ==i pi
A q
将3个平衡点的p,q 德结果及稳定条件情况如下表所示：
11
3.下面根据表一对平衡点稳定性进行评价：
1）对1p 点：当12<σ时，因为食饵不能为捕食者提供足够的食物，而使捕食者灭绝，从而食饵达到最大容量，则使1p 达到稳定；
2）对2p 点：当12<σ时，因为二者共存，分别趋向非零的有限值，从而达到稳定。
六．模型的检验：
首先先来看相轨线的图像，从图像中进行分析；
并设 1σ=1m , 2σ=m 2m ;则得到相应的MATLAB 代码如下： 1.先写M 文本：
function xdot=shier(t,x)
1R =;2R =;1m =;2m =;1N =;2N =1;
xdot=[r1*(1-x(1)/
1N
-m1*x(2)/2N ).*x(1);R2*(-1+m2*x(1)/N1-x(2)/2N )];
程序为： >> ts=0::15; x0=[25,2];
[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x]'
plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),pause, plot(x(:,1),x(:,2)),grid,
有以上程序中的代码又可以得到相应的图形；
1）数值解的图形：
2）相轨线的图形：
从以上两个图像中进行比较可以看出，两种群会趋于一个稳定的状态，并且x1(t),x2（t）都趋于一个有限值，则说明他们是可以共存的。
进一步说明这个模型是可行的，能够使它们共存下来，捕食者也会达到每一个值而不变，食饵会达到一定的数量而不变，它们都趋于一个相对稳定的值。
七．模型的讨论：
生物界中经常都会遇到食饵—捕食者模型这种现象，但是很多人在讨论的时候会忽视了自身阻滞作用，尽管Volterra模型可以解释一些现象，但是它作为近似反映现实对象的一个数学模型，比如存在不少局限性，所以我们就考虑了自身阻滞作用的食饵—捕食者模型，就是在Volterra模型中加入考虑自身阻滞作用的Logistic项，虽然这种比Volterra模型好些，但是还是存在些缺点，比如外界对生物的影响等，在这里就不作详细分析讨论了。
八.模型的评价
1.此模型建立了具有自身阻滞作用的捕食—食饵模型,讨论了解其平衡点及稳定性,应用特征根法分析了平衡点,得到了平衡点局部渐进近稳定的充分条件。
进一步分析了平横点的全局稳定性。
2.通过相轨线来分析稳定性及验证结论的正确性。
3.用数学模型描述、分析食饵—捕食者系统的动态过程和稳定状态，不仅对生态学的研究有重要意义，而且因为它与微分方程定性理论有着密切联系。
九参考文献：
1. 蔡锁章. 数学建模原理与方法. 海军出版社.
2. 郑熠. 温广玉. 数学模型. 东北林业大学.
3. 姜启源. 谢金星. 叶俊.数学模型（第三版）. 高等教育出版社.
4. 姜启源. 数学模型（第二版）.高等教育出版社.1993。