习 题 二 解 答1．用二分法求方程x 3-2x 2-4x-7=0在区间[3，4]内的根，精确到10-3，即误差不超过31102-⨯。

分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。

解：因为f(3)＝-10＜0，f(4)=9＞0，所以，方程在区间［3，4］上有根。

由34311*1022222n nn nnnb a b a x x -----≤===<⨯有2n-1＞1000，又为210＝1024＞1000， 所以n ＝11，即只需要二分11次即可。

x *≈x 11=3.632。

指出：（1）注意精确度的不同表述。

精确到10-3和误差不超过10-3是不同的。

（2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。

（3）用秦九韶算法计算f(x n )比较简单。

1*．求方程x 3-2x 2-4x-7=0的隔根区间。

解：令32247y x x x =---， 则2344322()()y x x x x '=--=+-当23443220()()y x x x x '=--=+-=时，有12223,x x =-=。

因为214902150327(),()y y -=-<=-<，所以方程在区间223(,)-上无根；因为21490327()y -=-<，而函数在23(,)-∞-上单调增，函数值不可能变号，所以方程在该区间上无根；因为2150()y =-<，函数在(2,+∞)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根，而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。

所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。

2．证明1sin 0x x --=在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于41102-⨯的根，需要迭代多少次？分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。

解：令()1sin f x x x =--，因为(0)10sin 010,(1)11sin 1sin 10f f =--=>=--=-<，则(0)(1)0f f <，由零点定理，函数f(x)在[0,1]区间有一个根。

由41011*1022222n nn nnnb a b a x x -----≤===<⨯有2n-1＞10000，又为210＝1024，213＝8192<10000，214＝16384>10000 所以n ＝15，即需要二分15次。

指出：要证明的是有一个解而不是唯一解，因此不必讨论单调性。

3．试用迭代公式10220,1210k k k x x x x +==++，求方程32210200x x x ++-=的根，要求精确到510-。

分析：精确到510-即误差不超过51102-⨯解：令32()21020f x x x x =++- 列表进行迭代如下：指出：精确到510-可以从两个方面判定。

第一，计算过程中取小数到510-位，最后两个计算结果相同，终止计算。

第二，计算过程中取小数到610-，当511102k k x x -+-<⨯终止计算。

本题采用第一种方法。

4．将一元非线性方程20cos x x e -=写成收敛的迭代公式，并求其在005.x =附近的根，要求精确到210-。

解：20cos x x e -=改写为222110cos cos cos x xxx x x e ee=⇒=⇒-=，则21cos xx x x e=+-，设 21cos ()xx g x x e=+-有22224111)sin cos (sin cos )()()xxxxxx xe xex x g x e eeπ+--+'=+=-=-在005.x =处，因为05054051096151..)(.).g eπ+'=-=<所以迭代法121cos ()kkk k x x g x x e+=+-在005.x =的邻域内收敛。

列表迭代如下：此时0692069000614.cos ..e -=。

5．为求方程3210x x --=在015.x =附近的一个根，设将方程改为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：12213223121121111121111311(),;(),();(),.()k kk kk k x x xx x x x x x x x x +++=+=+=+=+==--迭代公式迭代公式迭代公式 试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有4位有效数字的近似值。

解：（1）因为211x x=+，所以迭代函数为211()g x x =+，则23212()()()g x xxx--'''===-，3322152151153375(.)...g -'=-⨯==<满足局部收敛性条件，所以迭代公式1211k kx x+=+具有局部收敛性。

（2）因为1231()x x =+,所以迭代函数为1231()()g x x =+,则12122332231221213331()()()()xg x x x x x x --'=+=+=+,223215150********.(.).(.)g ⨯'==<+满足局部收敛性条件,所以迭代公式12311()k kx x +=+具有收敛性。

（3）因为1211()x x =-，所以迭代函数为1211()()g x x =-，则13122111122()()()g x x x ---'=--=--，323211151********205(.)(.)..g -'=-==>⨯不满足收敛性条件，所以迭代公式11211()k k x x +=-不具有收敛性。

用迭代公式1211k kx x+=+列表计算如下：所以，方程的近似根为1465*.x ≈。

6．设23()()x x C x ϕ=+-，应如何取C 才能使迭代公式1()k k x x ϕ+=具有局部收敛性？解：设C 为常数，因为23()()x x C x ϕ=+-，所以12()x Cx ϕ'=+，要使迭代公式具有局部收敛性，需00121()x Cx ϕ'=+<，此时即有01121Cx -<+<，也即010Cx -<<。

即只要C 取满足如上条件的常数，就可以使得迭代公式具有局部收敛性。

指出：本题的一般形式为：设()()x x Cf x ϕ=+，应如何取C 才能使迭代公式1()k k x x ϕ+=具有局部收敛性？显然，()()x x Cf x ϕ=+是迭代格式1()k k x x ϕ+=相应的迭代函数，因此该迭代格式要求解的方程是()()()0x x x x Cf x f x ϕ=⇒=+⇒=。

也就是说，这是如何选择C ，构造一个求解方程f(x)=0的收敛的迭代格式的问题。

因为()()x x Cf x ϕ=+，所以()1()x Cf x ϕ''=+， 要使迭代格式收敛，需()1()1x Cf x ϕ''=+< 解之得2()0Cf x '-<<，即C 与()f x '异号，且()2Cf x '<。

下面的讨论利用了本题的特殊条件，求出了具体的结果：因为23()()x x C x ϕ=+-，所以当2(3)x x C x =+-时，有2(3)0C x -=，则x =23()()x x C x ϕ=+-的不动点为*x =。

而12()x Cx ϕ'=+， 根据局部收敛性定理，当1210C c ϕ'=+<⇒-<<；当(12(10C c ϕ'=+<⇒<<时，迭代格式收敛到。

7．用牛顿法求方程3310x x --=在初始值02x =邻近的一个正根，要求3110k k x x -+-<。

解: 因为3310x x --=所以有3()31f x x x =--，相应的迭代公式为3312231213333k k k k k k k x x x x x x x +--+=-=--取x 0=2为迭代的初始近似值。

迭代的结果列表如下：因为33210.0001102x x --=<⨯,符合计算的精度要求,所以*3 1.8794x x ≈=。

8．用牛顿法解方程10c x-=，导出计算数c 的倒数而不用除法的一种简单的迭代公式。

用此公式求0.324的倒数，设初始值03x =，要求计算有5位有效数字。

解：对于方程10c x -=，有1()f x cx =-，相应的迭代公式为212121k k k k k kc x x x x cx x +-=-=--。

应用该迭代公式求0.324的倒数，列表计算如下所以1308640324..≈。

指出： 如果将方程10c x -=改写为等价的10cx -=，则有1()f x cx =-，相应的迭代公式为111k k k cx x x cc+-=-=无法展开迭代。

9．设alimk →∞。

解：设a 为正实数，n 为自然数，由牛顿法，方程0()n f x x a =-=的解为11111()()(1)1[(1)]k k k k nnnk k k k n n k kn k n kk n kf x x x f x x a nx x ax nxnx n x anx a n x nx+----=-'--+=-=-+==-+此即求 由此，则111111[(1)][(1)] lim lim lim1[(1)(1)]lim1[(1)(1)]lim1[((1)()limnk n k k k k knkknkknkkan x n x axx n xn a n xn a n xa n n xn--→∞→∞→∞--→∞-→∞-→∞-+-+==--+-=--+-=---=111]2(1)(1)(1)lim22limn nkk kka n a nx x-++→∞→∞-⨯---====指出：本题中，表面上是k→∞的问题，但实际上却是kx→的问题，1,k kx x+才是极限过程中实际的变量。

本质上。

本题实际上是求极限11111[(1)][(1)] lim lim lim1[(1)]nk n k k k k knxan x n x axx n xn x ax--→∞→∞→∞--+-+==-+=由于讨论的是0型不定式，且不定式的分母上有2次的“0”因子，因此两次应用罗必塔法则。

解二：首先证明一个定理：定理：设**()0,()0f x f x'=≠，又设f(x)在*x的某个邻域内具有连续的二阶导数，则牛顿迭代法具有局部收敛性，且有。