全国各地高考文科数学试题分类汇编：立体几何
n 1. ［重庆卷20］如图1-4所示四棱锥P-ABCD中，底面是以0为中心的菱形，P0丄底面ABCD , AB= 2,/ BAD =-3，
1
M为BC上一点，且BM = 2.
(1)证明：BC丄平面POM ; (2)若MP丄AP,求四棱锥
2. ［北京卷17］如图1-5，在三棱柱ABC -A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB丄BC, AA j= AC= 2, BC= 1, E, F分别
是A1C1, BC的中点.
C (1)求证：平面ABE丄平面B1BCC仁⑵求证：C J F //平面ABE; (3)求三棱锥E - ABC的体积.
3. ［福建卷19］如图1-6所示，三棱锥A - BCD中，AB丄平面BCD, CD丄BD.
(1) 求证：CD丄平面ABD ; (2)若AB = BD = CD = 1 , M为AD中点，求三棱锥A - MBC的体积.
L
4. ［新课标全国卷n 18］如图1-3,四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA 丄平面ABCD , E 为PD 的中点.
5. ［广东卷18］如图1-2所示，四边形 ABCD 为矩形，PD 丄平面ABCD , AB = 1, BC = PC = 2，作如图1-3折叠：折 痕EF // DC ,其中点E , F 分别在线段PD , PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为 M ，并且MF 丄CF.
(1)证明：CF 丄平面 MDF ; (2)求三棱锥 M -CDE 的体积.
6. ［辽宁卷19］如图1-4所示，△ ABC 和厶BCD 所在平面互相垂直，且 AB = BC = BD = 2,Z ABC =Z DBC = 120°, E , F , G 分别为AC , DC , AD 的中点.
(1)求证：EF 丄平面BCG ;⑵求三棱锥 D -BCG 的体积.
(1)证明: PB //平面 AEC ; (2)设 AP = 1 ,
AD = 3,三棱锥P - ABD 的体积V =¥，求A 到平面PBC 的距离
.
图1-2
B
图1-3
7. ［全国新课标卷I 19］如图1-4，三棱柱ABC - A i B i C i 中，侧面BB i C i C 为菱形，B i C 的中点为0,且AO 丄平面BB i C i C. (1)证明：B i C 丄AB ; (2)若 AC 丄AB i ,Z CBB i = 60°, BC = i ，求三棱柱 ABC - A i B i C i 的高.
n
8 ［重庆卷20］如图i-4所示四棱锥P-ABCD 中，底面是以0为中心的菱形，P0丄底面ABCD , AB = 2,Z BAD =-3， i M 为BC 上一点，且 BM = 2.
9、如图5所示，在三棱锥 P - ABC 中，AB 二BC —, 6，平面PAC _平面ABC , PD _ AC 于点D , AD =i ,
CD -3 , PD =2 .
(i )求三棱锥P-ABC 的体积；(2)证明△ PBC 为直角三角形
.
(i)证明：BC 丄平面POM ; (2)若MP 丄AP ,求四棱锥 P-ABMO 的体积.
图i-4
D
图5
10、如图，E为矩形ABCD所在平面外一点，AD _平面ABE , AE=EB=BC=2 , F为CE是的点，且BF _平面ACE ,
(1)求证：AE _平面BCE ；(2)求三棱锥C—BGF的体积。
11、如图，已知AB丄平面ACD , DE // AB , AD 二AC 二DE =2AB=1,且F 是CD 的中点.AF *3
(I)求证：AF //平面BCE ;(n)求证：平面BCEL平面CDE ；
(III) 求此多面体的体积.
D
12、在如图4所示的几何体中，平行四边形ABCD的顶点都在以AC为直径的圆O上，AD二CD二DP二a,
AP 二CP=.2a, DP//AM，且AM --DP , E, F 分别为BP,CP 的中点. 2
⑴证明：EF //平面ADP ; (II)求三棱锥M —ABP的体积.
B
图4
13、在棱长为a的正方体ABCD - ABGD,中，E是线段AG的中点，底面ABCD勺中心是F.
⑴求证：CE_BD ;⑵求证：CE //平面ABD ；⑶求三棱锥D -A,BC的体积.
14、矩形ABCD中，2AB二AD，E是AD中点，沿BE 将 :ABE折起到.A'BE的位置，使A C二A'D，F、G分别是BE、CD中点.
(1)求证：A F丄CD ；
(2)设AB=2，求四棱锥A-BCDE的体积•
15、如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD _底面ABCD ,且
pp
PA= PD - A D若E、F分别为PC、BD的中点•
2
(1)求证：EF //平面PAD ； (2)求证：平面PDC _平面PAD .
(3)求四棱锥P - ABCD的体积V MBCD .
16、如图，在直三棱柱ABC - ABQ中，AC =3 , BC = 4 , AB = 5,AA=4，点D是AB的中点,
(1)求证：AC _BC ,； (2)求证：AC,//平面CDB,；
(3)求三棱锥C, -CDB,的体积。
17、如图1,在正三角形ABC中，AB=3，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，AE=CF=CP=1。
将厶AFE沿EF 折起到.A1EF的位置，使平面A1EF与平面BCFE垂直，连结A1B、A1P (如图2)。
(1) 求证：PF//平面A1EB ；
(2) 求证：平面BCFE _平面A1EB ；
(3) 求四棱锥A1 —BPFE的体积。
18、如图所示的长方体ABCD - A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，0为AC与BD的交点，BB j = 2，M是线段B1D1的中点.
(1)求证：BM //平面D1AC ；
⑵求三棱锥D1 - ABQ的体积.
191、已知四棱锥P_ABCD的底面ABCD是边长为4的正方形，PD _平面ABCD , PD = 6,E, F分别为PB, AB 中点。
⑴证明：BC _平面PDC ;
⑵求三棱锥P - DEF的体积。
PABC中, PA=PB CA=CB D、E、F、G分别是PA AC CB BP的中点.
(1) 求证：D、E、F、G四点共面；(2) 求证：PC X AB;
21、如图所示，圆柱的高为2,底面半径为■ 7 ,AE、DF是圆柱的两条母线，过
(1)求证：BC//EF ; (2)若四边形ABCD是正方形，求证BC _ BE ;
(3)在(2)的条件下，求四棱锥A-BCE的体积•
⑶若厶ABC和PAB都是等腰直角三角形，且AB=2 PC =、一2，求四面
体
PABC的体
积
.
20、如图6，在四面体
AD作圆柱的截面交下底面于BC .
22、如图，平行四边形ABCD中，CD -1, . BCD =60 ,且BD _ CD ,正方形ADEF和平
面ABCD垂直，G,H
是DF,BE的中点.
Ei-(1)求证：BD _平面CDE ; (2)求证：GH //平面CDE ;
(3)求三棱锥D -CEF的体积.。