(2012江西省）（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=42，DE=4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG.（1）求证：平面DEG⊥平面CFG；（2)求多面体CDEFG的体积。

【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以可得EGGF又因为CF底面EGF,可得CFEG，即EG面CFG所以平面DEG⊥平面CFG.（2）过G作GO垂直于EF，GO即为四棱锥G-EFCD的高，所以所求体积为1112S正方形GO5520DECF335Word资料2012，山东(19)(本小题满分12分)如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CBCD,ECBD.(Ⅰ)求证：BEDE；(Ⅱ)若∠BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.解：设BD中点为O，连接OC，OE，则由BCCD知，COBD，又已知CEBD，所以BD平面OCE.所以BDOE，即OE是BD的垂直平分线，所以BEDE.(II)取AB中点N，连接MN,DN，∵M是AE的中点，∴MN∥BE，∵△ABD是等边三角形，∴DNAB.由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即BCAB，所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.Word资料BC2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCDA1B1C1D1中，AD//BC,AD AD FEAB,AB2,AD2,BC4,AA2,E是DD的中点，F11 是平面B1C1E与直线AA1的交点。

A1B1D1(第20题图)C1（Ⅰ）证明：（i）E F//A1D1;（ii）BA1平面B1C1EF;（Ⅱ）求B C与平面1B CEF所成的角的正弦值。

11解析：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理认证能力。

（Ⅰ）（i）因为C1B1//A1D1,C1D1平面ADD1A1,所以C1B1//平面A1D1DA.又因为平面B1C1EFI平面A1D1DAEF,所以C1B1//EF,所以A1D1//EF.（ii）因为BB1平面A1B1C1D1,所以BB1B1C1.又因为B1C1B1A1,所以B1C1平面ABB1A1,所以B1C1BA1.2 在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点，tanA1B1FtanAA1B,2 即A1B1FAA1BBA1B1F.所以BA1平面B1C1EF.A B CD（Ⅱ）设BA1与B1F交点为H，连接C1H, 由（Ⅰ）知BA1平面B1C1EF. F EHB1A1D1C1(第20题图) Word资料.所以 B CH 是BC 与面BCEF 所成的角11114AABB 中,AB2,AA2,得BH.在矩形11164BH30BC25,BH,得sinBCH. BC15在直角BHC 1中，1161所以BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值是 30 15.（2010四川）18、(本小题满分12分)已知正方体ABCDA 'B 'C 'D'中，点M 是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点，（Ⅰ）求证：OM 为异面直线AA'与BD'的公垂线； （Ⅱ）求二面角MBC'B '的大小；解：连接A C,取AC 中点K ，则K 为BD 中点，连接O K ，因为点M 是棱AA'的中点，点O是BD'的中点，∴1 AMDD'OK,AM ∥ 21 2BD'∥OK,∴MOAK,MO ∥AK. 由AA'AK,得MOAA'.因为AKBD,AKBB',所以AK 平面BDD'B ' ∴AKBD',∴MOBD'. 又∵OM 与异面直线AA'和BD'都相交， 故OM 为异面直线AA'和BD'的公垂线。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）（Ⅱ）取BB'的中点N ，连接M N ，则MN ⊥ 平面BCC'B ',过点N 作NH ⊥BC'于H ，连接M H ，则由 三垂线定理得BC'MH,从而MHN 为二面角MBC'B '的平面角。

设A B1,则122MN1,NHBNsin45，224在RtMNH中，MN1tanMHN22NH24.故二面角MBC'B'的大小为arctan22。

⋯⋯⋯⋯⋯（12分）Word资料2010辽宁文（19）（本小题满分12分）如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B（Ⅰ）证明：平面A1B1C平面A1BC1；（Ⅱ）设D是A C上的点，且AB1//平面B1CD，求A1D:DC1的值。

11Word资料2012辽宁（18）(本小题满分12分)如图，直三棱柱///oABCABC，BAC90 ，ABAC2,AA′=1，点M，N分别为/AB和//BC的中点。

(Ⅰ)证明：MN∥平面// AACC;(Ⅱ)求三棱锥/AMNC的体积。

（椎体体积公式V=13Sh,其中S为地面面积，h为高）【答案与解析】Word资料2012，北京（16）（本小题共14分）如图1，在RtABC中，C90，D，E分别为AAC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A FCD，如图2．A11D E（Ⅰ）求证：DE//平面A1CB；D E （Ⅱ）求证：A1FBE；FF （Ⅲ）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？CBCB图1图2 说明理由．解：（Ⅰ）因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE//BC．又因为DE平面A1CB，所以DE//平面A1CB平面．（Ⅱ）由已知得ACBC且DE//BC，所以DEAC．所以DEA1D，DECD．所以DE平面A1DC．而A1F平面A1DC，所以DEA1F．又因为A1FCD，所以A1F平面BCDE．所以A1FBE．（Ⅲ）线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ//BC．A1又因为DE//BC，所以DE//PQ．所以平面DEQ即为平面DEP．P D QE由（Ⅱ）知，DE平面A1DC，FWord资料CB所以DEA1C．又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP．所以A1C平面DEP．从而A1C平面DEQ．故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ．2012天津17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=23，PD=CD=2.（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（II）证明平面PDC⊥平面ABCD；（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。

Word资料18．（本题满分12分），已知直三棱柱ABC—A1B1C1，ACB90，如图ACBC2，AA14，E、F分别是棱CC 1、AB中点．（1）判断直线C F和平面AEB1的位置关系，并加以证明；（2）求四棱锥A—ECBB1的体积．（1）解：CF//平面AEB1，⋯⋯2分证明如下：取AB1的中点G，联结E G，FG1 F,G分别是棱AB、AB1中点.FG//BB1,FGBB1⋯⋯4分21又.EC//BB1,ECBB1FG//EC,FGEC2C F//EG.四边形F GEC是平行四边形又CF平面AEB，EG平面AEB1，CF//平面AEB1。

⋯⋯6分（2）解：三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，Word资料.BB平面ABC，又AC平面ABC1ACBBACB901ACBCBB1BCB.1 AC平面ECBB1VSACAECBB1SCBB131E是棱CC1的中点，2ECAA121S ECBB1(ECBB)BC12 12(24)2611V AECBB1S ECBB AC624.⋯⋯12分133(本小题满分12分)如图，三棱锥A—BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形.（Ⅰ）求证：DM//平面APC；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC；（Ⅲ）若BC=4，AB=20，求三棱锥D—BCM的体积.解：（Ⅰ）∵M为AB中点，D为PB中点，∴MD//AP，又∴MD平面ABC∴DM//平面APC⋯⋯⋯⋯⋯3分（Ⅱ）∵△PMB为正三角形，且D为PB中点。

∴MD⊥PB又由（Ⅰ）∴知MD//AP，∴AP⊥PB又已知AP⊥PC∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，又∵AC⊥BCWord资料.∴BC ⊥平面APC ，∴平面ABC ⊥平面PAC ⋯⋯⋯⋯⋯8分 （Ⅲ）∵AB=20 ∴MB=10∴PB=10 又BC=4，PC1001684221.111SPCBC∴S BDC PBC4221221.244 1122又MDAP201053.2211∴V D-BCM=VM-BCD=S BDC DM22153107⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分33【2012高考全国文19】（本小题满分12分）（注意：在．试．题．卷．上． P作．答．无．效．）如图，四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA 底 面ABCD ，AC22，PA2，E 是PC 上的一点，PE2EC 。

（Ⅰ）证明：PC 平面BED ；EAo（Ⅱ）设二面角APBC 为90，求PD 与平面PBC 所成角的B DC 大小。

解析：【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的 运用。

从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，并加以证 明和求解。

解：设ACIBDO,以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴建立空间直角坐标系，则 A(2,0,0),C(2,0,0),P(2,0,2),设B(0,a,0),D(0,a,0),E(x,y,z)。

（Ⅰ）证明：由PE2EC 得uuu r22E (,0,)，所以PC(22,0,2)33uu u r ，(2,,2) BEa33，Word资料uuu rBD(0,2a,0) ，所以u u u r u u u r22PCBE(22,0,2)(,a,)033，uuu r uuu rPCBD(22,0,2)(0,2a,0)0u u u r u u u r。

所以PCBEu u u r u u u r,PCBD ，所以PC平面BED；r（Ⅱ）设平面PAB的法向量为n(x,y,z)uu u r uu u r，又AP(0,0,2),AB(2,a,0) ，由ruuu r ru u u rnAP0,nAB0 得rn2(1,,0)a，设平面PBC的法向量为u rm(x,y,z)u u u r uu u r，又BC(2,a,0),CP(22,0,2) ，由u r uu u r u r uuu rmBC0,mCP0 ，得u rm2(1,,2)a，由于二面角APBC为u r ro，所以mn090，解得a2。