全国各地高考文科数学试题分类汇编：体几何
1．[·重庆卷20] 如图1-4所示四棱锥P-ABCD
PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝π
3，M为
(1)证明：BC⊥平面POM；(2)若MP⊥AP，求四棱锥的体积．
图1-4 2．[·北京卷17] 如图1-5，在三棱柱ABC -A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，
AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E -
的体积．
3．[·福建卷19] 如图1-6所示，三棱锥A - BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD
(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A - MBC的体积．
4．[·新课标全国卷Ⅱ18] 如图1-3，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P - ABD的体积V
＝
3
4，求A到平面PBC的距离．
5．[·广东卷18] 如图1-2所示，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图1-3折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.
(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M - CDE的体积．
图1-2图1-3
6．[·辽宁卷19] 如图1-4所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点．
(1)求证：EF ⊥平面BCG ；(2)求三棱锥D -BCG 的体积．
7．[·全国新课标卷Ⅰ19] 如图1-4，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C .
(1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC - A 1B 1C 1的高．
8．[·重庆卷20] 如图1-4所示四棱锥P -ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，
PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12
. (1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P -ABMO 的体积．
图1-4
9、如图5所示，在三棱锥ABC P -中，6AB BC ==，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ， 1AD =，3CD =，2=PD ．
（1）求三棱锥ABC P -的体积；（2）证明△PBC 为直角三角形．
10、如图，E 为矩形ABCD 所在平面外一点，⊥AD 平面ABE ，
AE=EB=BC=2，F 为CE 是的点，且⊥BF 平面ACE ，G BD AC =⋂
（1）求证：⊥AE 平面BCE ； （2）求三棱锥C —BGF 的体积。
11、如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，2AD AC DE AB ====1，
且F 是CD 的中点．3AF =
（Ⅰ）求证：AF ∥平面BCE ； （Ⅱ）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；
(III) 求此多面体的体积．
12、在如图4所示的几何体中，平行四边形ABCD 的顶点都在以AC
为直径的圆O 上，AD CD DP a ===，2AP CP a ==，//DP AM ，且12
AM DP =，,E F 分别为,BP CP 的中点. (I)证明：//EF 平面ADP ; (II)求三棱锥M ABP -的体积.
13、在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是线段11A C 的中点,底面ABCD 的
中心是F.
(1)求证:CE ?BD ；(2)求证:CE ∥平面1A BD ；(3)求三棱锥1D A BC -的体积.
A
B C D E F 图5
14、矩形ABCD 中，AD AB =2，E 是AD 中点，沿BE 将ABE ∆折起到'A BE ∆的位置，使''AC A D =，F G 、分别是BE CD 、中点.
（1）求证：F A '⊥CD ；
（2）设2=AB ，求四棱锥BCDE A -'的体积.
15、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧
面PAD ABCD ⊥底面，且22PA PD AD ==，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点.
（1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求证：平面PDC ⊥平面PAD .
（3）求四棱锥P ABCD -的体积P ABCD V -.
16、如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，
5AB =,14AA =，点D 是AB 的中点，
（1）求证：1AC BC ⊥；（2）求证：11CDB //平面AC ；
（3）求三棱锥11C CDB -的体积。
17、如图1，在正三角形ABC 中，AB=3，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、
BC 边上的点，AE=CF=CP=1。
将AFE ∆沿EF 折起到1A EF ∆的位置，
使平面1A EF 与平面BCFE 垂直，连结A 1B 、A 1P （如图2）。
（1）求证：
PF BCFE ⊥1111D C B A ABCD -ABCD 2
1=BB 11D B //BM 1D AC 11D AB C -P ABCD -ABCD
PD ABCD ⊥平面6,,PD E F =,PB AB
BC PDC ⊥平面P DEF -2=PC 7AD BC
（1）求证：//BC EF ；（2）若四边形ABCD 是正方形，求证BC BE ⊥；
（3）在（2）的条件下，求四棱锥A BCE -的体积.
22、如图，平行四边形ABCD 中，1=CD ，ο
60=∠BCD ，且CD BD ⊥，
正方形ADEF 和平面ABCD 垂直，H G ,是BE DF ,的中点．
（1）求证：CDE BD 平面⊥；（2）求证：//GH 平面CDE ；
（3）求三棱锥CEF D -的体积．。