∂L d ∂L = 0 − ∂y dx ∂y′ f =0
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最优控制——变分法 2.1变分法基本概念和原理
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最优控制——变分法 2.1变分法基本概念和原理
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题
∂H x = = f ( x ( t ) , u ( t ) , t ) , x (= t0 ) x0 ∂λ = − ∂H λ ∂x ∂H =0 u ∂ T ∂F ∂N = + t λ γ ( ) f ∂x ( t f ) ∂x ( t f ) T T ∂ ∂ ∂F F N H t = λ T x T T − + x − − γ γ t ( ) ( ) f f tf ∂t f ∂x ( t f ) ∂x ( t f ) ∂N ∂F T = − −γ ∂t f ∂t f
γ )
23
T
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题

例
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（波尔扎（Bolza）问题）
最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题

与前面所讲的变分问题相比较，波尔扎 问题具有下面两个特点：
• 性能泛函有两项 • 属于等式约束的泛函条件极值问题。 •这里的约束是指状态方程，不是控制域
x f ( x (t ) , u (t ) , t ) , t ∈ t0 , t f = tf x (t f ) , t f + ∫ L = u ( ) F x (t ) , u (t ) , t dt J t 0 x (t0 ) = x0 N x (t f ) , t f = 0
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题
解：
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题

最优控制
= 18t − 10 u

∗
最优轨线
x ( t )= 3t − 5t + t + 1 ∗ 2 = − + x t 9 t 10 t 1 ( ) 2
x f ( x (t ) , u (t ) , t ) , t ∈ t0 , t f tf x ( t f ) + ∫ L J = u ( ) F dt t0 x ( t ) , u ( t ) , t x (t0 ) = x0 =0 x N t ( ) f
肖玲斐 lfxiao@
最优控制 前次课程回顾——变分法

泛函极值问题及相关结论
•条件极值问题 •角点问题
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最优控制——变分法
重点掌握
用拉格朗日（Lagrange）乘 子法求解条件极值问题
T ′ ′ L ( x= , y , y , λ ) L ( x, y , y ) + λ f ( x, y )

最优控制问题描述 最优控制问题求解 •终端时刻tf固定，终端状态x(tf)受约束 •终端时刻tf自由，终端状态x(tf)受约束
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题

最优控制问题求解
• 当容许控制为开集时 • 考虑复合型性能指标最优控制问题
x f ( x (t ) , u (t ) , t ) , t ∈ t0 , t f = tf x (t f ) , t f + ∫ L = u ( ) F dt J t0 x ( t ) , u ( t ) , t x (t0 ) = x0 x (t f ) , t f N =0
∗ 1
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题
（3）情形3：
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题

最优控制 最优轨线

6 12 u t− = 7 7
∗
1 3 6 2 ∗ x t t t t 1 = − + + ( ) 1 7 7 x ∗ ( t ) = 3 t 2 − 12 t + 1 2 7 7
40
肖玲斐 lfxiao@
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题

终端状态的几种情形
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题

终端时刻tf固定，终端状态x(tf)受约束
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思考题
2.6 设系统状态方程为
x ( 0 ) 1, = x (t f ) 0 给定边界条件为 = 求使性能指标 t
1 f 2 2 = J x + u dt ( ) ∫ 2 0
(t ) = x − x (t ) + u (t )
为极小的最优控制和最优轨线
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∗ 1 3 2
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题
（2）情形2： 终端时刻固定tf=1且终端状态自由
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题

最优控制
u =0

∗
最优轨线
x (t )= t + 1 ∗ = x t 1 ( ) 2
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题

泛函极值条件
∂H x = ∂λ λ = − ∂H ∂x ∂H ∂u = 0 ∂N F ∂ = λ (t f ) + ∂x ( t f ) ∂x ( t f

最优化问题的数学描述和解与时间的关 系，可以划分为两类： •静态最优化（与时间无关） •动态最优化（与时间有关） ——最优控制问题
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题

静态最优化

动态最优化
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题

终端时刻tf自由，终端状态x(tf)受约束
x f ( x (t ) , u (t ) , t ) , t ∈ t0 , t f tf x (t f ) , t f + ∫ L = u ( ) F dt J t0 x ( t ) , u ( t ) , t x (t0 ) = x0 =0 x N t t , ( ) f f
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题

最优控制问题描述 最优控制问题求解 •终端时刻tf固定，终端状态x(tf)受约束 •终端时刻tf自由，终端状态x(tf)受约束
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题

最优控制问题的描述
x f ( x (t ) , u (t ) , t ) , t ∈ t0 , t f tf x (t f ) , t f + ∫ L u ( ) x (t ) , u (t ) , t J F dt = t0 x (t0 ) = x0 =0 x t , t ( ) f f N umin ≤ u ≤ umax

最优控制： 最优轨线：
u (t f ) = − 2
∗ ∗

x (t ) = − 2t + 1
∗
1 t = f 终端时刻： 2 1 1 最优泛函值： J = + = 2 2 2
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最优控制——变分法 2.1变分法基本概念和原理
重点掌握
最优控制问题求解 横截条件 协态方程 控制方程
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题