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现代控制理论变分法在最优控制中的应用


(7-3)
xt xt x* t t
xf
x0
x* t
t0
tf
tห้องสมุดไป่ตู้
这里,是一个小参变量,但不是时间函数。 t 是时间函数。
且满足
t0 t f 0
(7-4)
即在x* t 的邻区的所有x t 均应满足边界条件
x t0 x* t0 x0
(7-5)
x t f x* t f xf
tt0f
g
F
x*,x&*,t
x&
dt
F x*,x&*,t
x&
tf t0
tt0f
d dt
F
x*,x&*,t
dt
x&
代入式(7-11)则得:
dJ
d
tf t0
F
x*,x&*,t x
(7-10)
为此,我们采用复合求导的方法,将J x在 0处对 求

dJ
d
| 0
tf
F
g
x*,x&*,t
g
F
x*,x&*,t
dt
t0
x
x&
(7-11)
对于积分号内第二项的变换,利用分步积分的方法:
tt0f
u&vdt
uv
tf t0
tt0f
uv&dt
这样,积分号内第二项作分部积分后可得:
2.可动边界的极值
t0 ,t f 给定,x t0 固定或自由 x t f 自由
3.终端时刻自由的极值
t0 给定, x t0 固定, t f , x t f 自由
一、固定边界的极值问题 已知条件:
假定x t 为一维变量,在t t0,t f 区间上二次可
导,并设起始及终端时刻 t0、t f 均给定,且
⑴ 最短时间问题:
J t f t0
t f dt
t0
F xt ,ut ,t 1
拦截导弹最短时间控制
⑵ 最小燃料消耗问题:控制量u(t)与燃料消耗量成正比。
J tf u t dt t0
F xt ,u t ,t u t
导弹最小燃料控制
⑶ 最小能量控制问题:考虑与消耗功率成正比。
J tf u2 t dt t0
⑵ 终值型性能指标:
J x t f ,t f
卫星的指向控制
在变分法中称为迈耶尔问题。它只要求状态在过程终端 时满足一定要求,但在整个动态过程中对状态及控制的演变 不作要求。
⑶ 复合型性能指标:
J x
tf
,t f
tf t0
F
x t
,u t
,t dt
卫星的指向和 稳定控制
在变分法中称为波尔札问题。它要求状态在过程终端 时满足一定要求,而且状态向量及控制向量在整个动态过 程中都应满足一定要求。
• 最优控制问题的提法 • 性能指标的分类
xt0 x0
一、最优控制问题的提法
设动态系统的状态方程:
x&t f xt ,ut ,t
初始状态: 目标集:
xt0 x0
xtf S
控制域:
utU Rm
性能指标:
J x
tf
,t f
tf t0
F
x t
,u t
,t dt
xt0 x0
最优控制的问题就是:从所有可供选择的容许控制中寻找
一个最优控制 u* t ,使状态x t 由x t0 经过一定时间转移
到目标集 S ,并且沿此轨线转移时,使相应的性能指标达 到极值(极大或极小)。
二、性能指标的分类
能指标函数(又称价值函数、目标函数、性能泛函), 最优控制问题可归结为求性能指标的极值问题。按照实际 控制性能的要求大致可以分为:
(7-6)
并当 0 时,则
xt x* t
(7-7)
对x t 求导得

x&t x&* t t
(7-8)
将x t 及 x&* t 的表示式代入指标函数 J x式得
J x
tf t0
F
x*
t

t
,x&* t
g
t
,t
dt
(7-9)
根据性能指标极值的必要条件,应满足
dJ
d
0 0
t
xd
t
⑷、⑸两类性能指标统称为二次型性能指标,这是工程实践
中应用最广的一类性能指标。
性能指标还可以按其数学形式大致分为下列三类: ⑴ 积分型性能指标:
J
tf t0
F
xt ,ut ,t
dt
导弹稳定控制
在变分法中这类问题称为拉格朗日问题。它要求状态向 量及控制向量在整个动态过程中都应满足一定要求。
xT
t
Qx
t
uT
t
Ru
t
⑸ 状态跟踪器问题:如果在过程中要求状态x(t)跟踪目
标轨线 xd t 。
弹道导弹的弹 道跟踪控制
J 1 tf 2 t0
xt xd t T Q xt xd t uT t Ru t
dt
F
x
t
,u
t
,t
1 2
xt uT t
xd t T Rut
Q
x
本篇主要内容
• 变分法解最优控制 • 极小值原理 • 动态规划法 • 二次型性能指标的最优控制
第七章 变分法在最优控制中的应用
主要内容: • 无约束条件的性能指标(泛函)极值问题 • 有约束条件的性能指标(泛函)极值问题 • 变分法法解最优控制问题
§7.1 无约束条件的性能指标(泛函) 极值问题
F xt ,u t ,t u2 t
航天飞机最小能量控制
⑷ 线性调节器问题:
n
J
i1
x t f 2
t0 i
t dt
x t f n 2
t0 i1 i
t dt
特别要注意以下的指标形式:
导弹滚动通道调节问题
J
tf t0
1 2
xT
t Qxt
uT
t Rut dt
F
x
t
,u
t
,t
1 2
(从最简单的情况开始) 设性能指标为积分型(拉格朗日问题)
J
tf t0
F
x t
,x&t
,t dt
(7-1)
t0
tf
固定或自由
xt0 xt f
固定或自由
xt
xf
A
x0
B
x* t
t0
tf
t
7.1 无约束条件的泛函极值问题
在无约束条件下,按边界条件,极值问题一般分为: 1.固定边界的极值
t0 ,t f 给定,且xt0 x0,x t f x f固定
xt0 x0,x t f xf
(7-2)
要求确定使J x 达极小的 xt 轨线 。
现在我们讨论两种解法:复合求导法和变分法
1.复合求导法
设x* t 为满足以上边界条件并 使J x达到极小的最优状态轨线,
如图所示。
则其邻区的状态轨迹x t 可用
下式表示:
xt x* t t
第二篇 最 优 控 制
线性系统对控制系统的设计方法:极点配置 在实际工程应用中不仅仅是极点配置,常常考虑到性 能指标最优的问题。
倒立摆控制 点击观看
导弹轨迹控制 点击观看
航天器控制 点击观看
最优控制研究的问题是:对一个控制系统,在给定 的性能指标要求下,如何选择控制规律,使性能指标达 到最优(极值)。
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