2 1 1 2 2 ˆ l sin 2 2 sin sin
(d) 逆算符 设
ˆ ,
1 ˆ ˆ ,则可以定义算符 之逆 为
能够唯一地解出
ˆ 1
并非所有的算符都有逆算符, 例如投影算符就不存在逆.
ε ε ε
, , 1, 2,3或x, y, z
ε123 1
还可以证明:
lˆ ˆ ε ip ˆ , , p ˆ ε ilˆ lˆ , l
即角动量各分量的对易式为:
lˆx , lˆx 0,
第3章
力学量用算符表达
3.1 算符的运算规则
量子力学中的算符, 表示对波函数(量子态)的一 种运算.例如
d , V ( r ) , , 2 dx
讨论
量子力学中算符的一般性质:
(a)线性算符
ˆ 称为线性算符， 凡满足下列规则的算 c A ˆ A 1 1 2 2 1 1 2 2

ˆ
称为厄米算符, 也称为自共轭算符. ※
x, p x ,
l , V x (实)等都是厄米算符.
两个厄米算符之和仍为厄米算符, 但它们的积, 一
ˆ, ˆ 0 (可对易). 般不是厄米算符, 除非
关于厄米算符的重要定理: 体系的任何状态下, 其厄米算符的平均值必为 实数. 证明如下: ˆ 的平均值为 在 态下厄米算符
如果体系处于一种特殊的态, 测量 A 所得结果是 唯一确定的, 即涨落 A2 0 , 则这种状态称为力学 量 A 的本征态. 在本征态下, 由式(2)可以看出, 被积函数必须为零, 即 必须满足

或
ˆA 0 A

ˆ 常数 A
3.1 算符的运算规则
量子力学教程(第二版)
一般, 把常数记为 An ,并把本征态记为 n , 得到
c11 c2 2 , c1* 1, c2* 2 ,
式中
c1
与
c2
为任意常数.
(f) 转置算符
ˆ 的转置算符 ˆ 定义为 算符
ˆ d ˆ * d
*
即

ˆ * , ˆ * ,


则量子力学中最基本的对易关系可以化成:
x , p iδ
角动量对易式 角动量算符:
ˆ r p, ˆ l
ˆ yp ˆ ˆ l zp i y z x z y z y
各分量表为
ˆ zp ˆ ˆ l xp i z x y x z z x



以上是关于算符的一般规律和定则, 在 接下来的一节中我们将要学习一类特殊的算 符-------厄米算符, 及其本征值与本征函数!
量子力学教程(第二版)
3.2 厄米算符的本征值与本征函数 对于都用 来描述其状态的大量完全相同的 体系(系综), 如进行多次测量, 所得结果的平 均值将趋于一个确定值．而每一次测量的结 果则围绕平均值有一个涨落. 涨落定义为 涨落
lˆx , lˆy ilˆz , lˆy , lˆy 0, lˆy , lˆz ilˆx ,
lˆz , lˆz 0,
lˆz , lˆx ilˆy
可以写成
ˆ, l ˆ il ˆ l
定义:
* 定义一个量子体系的任意两个波函数(态) 与 的标积 *
, d
d
是指对体系的全部空间坐标进行积分,
d 是坐标空间体积元.
则可以证明:
, 0
,
*
,

, c11 c22 c1 ,1 c2 ,2
n 0
n!
n
ˆ 的函数 则可定义算符
ˆ F
为
n!
例如 不难看出
ˆ F
n 0

ax

F
0 ˆn
d n n d a dx a d F e . n dx n 0 n ! dx
F x e , 可定义
a d dx
e x x a
不难证明, 对易式满足下列代数恒等式:
ˆ ˆ ˆ ˆ , ,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , C , , C
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , C , C , C
ˆ2 lˆ2 lˆ2 lˆ2 l x y z
ˆ 2 , lˆ 0, l
则容易证明:
x, y , z
在球坐标系中 lˆ , 各分量可表示成
lˆx i sin cot cos ˆ l y i cos cot sin ˆ lz i
(c) 算符之积
ˆ ˆ ,定义为 ˆ 与 ˆ 之积,记为 算符
ˆ ˆ ˆ ˆ
任意.
一般说来,算符之积不满足交换律,即
ˆ ˆ ˆˆ
这是算符与通常数的运算规则的唯一不同之处!
由下列关系式:
ˆx p ˆ x x i, xp
ˆy p ˆ y x 0, xp
lˆz , y ix,
lˆx , z iy,
lˆy , z ix,
lˆz , z 0.
lˆz , x iy,
推出
lˆ ε ix , x
Levi-Civita符号
ε 是一个三阶反对称张量，定义如下：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ,C ˆ ˆ,C ˆ ,C ˆ
ˆ ˆ, ˆ , ˆ , ˆ C ˆ, ˆ,C ˆ , C ˆ 0(Jacobi恒等式）
算符 e
a
d dx
的物理意义, 是与体系沿 x 方向平移 a 有关的算符.
两个(或多个)算符的函数也可类似定义. 令 则
F
n ,m
n m x, y n m F x, y , x y
ˆ, B ˆ F



F
n,m
n , m0
n !m !
0, 0 ˆ nB ˆ m.
c1 与 c2 是 其中 1 和 2是任意两个波函数， ˆ i 两个任意常数（一般为复数）.例如 p 就是线性算符.
注 意 量子力学中的算符并不都是线性算符(例如复 共轭),但刻画可观测量的算符都是线性算符.
I ,
I 为单位算符
ˆ A 与 B 两个算符相等
ˆ B ˆ , A
其中, 是任一波函数.
(b) 算符之和 对于任意波函数 , 有
ˆ ˆ ˆ ˆ
显然, 算符的求和满足交换律和结合律:
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ C ˆ C



所以, 两个线性算符之和仍为线性算符.
ˆ 之逆存在,则 若算符
ˆ, ˆ 1 0
ˆ ˆ 1 ˆ 1 ˆ I,
ˆ 与 B ˆ 之逆均存在,则 设

ˆB ˆ
1
ˆ 1 ˆ 1 B
(e) 算符的函数 设给定一函数 F x , 其各阶导数均存在, 幂级数展开收敛 n F 0 n F x x
ˆy p ˆ y y i, yp
ˆz p ˆ z z i, zp
ˆz p ˆ z x 0 xp
概括
量子力学中最基本的对易关系:
ˆ p ˆ x iδ x p
, x, y, z, 或1, 2,3
定义:
对易式(commutator)
ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆˆ

式中 与 是任意两个波函数.

ˆ ˆ ˆ ˆ
~

(g) 复共轭算符与厄米共轭算符
ˆ 的复共轭算符 ˆ * 定义为 算符 * * * ˆ ˆ


ˆ 的复共轭 ˆ 的表达 ˆ * ,可如下构成, 即把 通常算符 式中所有量换成其复共轭.
ˆ ˆ y yp ˆ x i x lz xp y y x
由代数恒等式, 不难证明
lˆx , x 0,
lˆy , x iz,
lˆx , y iz ,
lˆy , y 0,
ˆ A , A A n, A n n n n n
推出 定理1 厄米算符的本征值必为实.
3.1 算符的运算规则


量子力学教程(第二版)
厄米算符的本征函数的一个基本性质: 定理2 厄米算符的属于不同本征值的本征函数, 彼此 正交. ˆ A A , 证明如下: 设


*
ˆ * * , * *,


* ˆ ˆ
ˆ p ˆ* p ˆp ˆ p
例如: 可以证明

ˆ C ˆ ˆ ˆC ˆ ˆ


(h) 厄米算符 满足下列关系的算符
ˆ ˆ , , 或 ˆ ,
ˆ ˆ , , ˆ ,
定理




*
*.
逆定理 在任何状态下平均值均为实的算符必为厄米算 符. 实验上可观测量, 当然要求在任何态下平均值都是实数, 因此, 相应的算符必须是厄米算符.