贝塞尔函数当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。

在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。

如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。

本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。

下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。

贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。

§5.1 贝塞尔方程的引出下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。

设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。

这个问题可以归结为求解下述定解问题：222222222222220(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ϕ=+=∂∂∂=++<>∂∂∂=+≤= (5.3)⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩用分离变量法解这个问题，先令(,,)(,)()u x y t V x y T t =代入方程（5.1）得22222()V V VT a Txy∂∂'=+∂∂或22222(0)V V T xya TVλλ∂∂+'∂∂==->由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程20T a T λ'+=（5.4）22220V V V xyλ∂∂++=∂∂（5.5）从（5.4）得2()a tT t Aeλ-=方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。

为了求出这个方程满足条件2220x y RV+== （5.6）的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得22222110,,02, (5.7)0,02, (5.8)RV v VV R V ρλρθπρρρρθθπ=⎧∂∂∂+++=<≤≤⎪∂∂∂⎨⎪=≤≤⎩ 再令 (,)()()V P ρθρθ=Θ， 代入（5.7）并分离变量可得()()0θμθ''Θ+Θ=（5.9）22()()()()0P P P ρρρρλρμρ'''++-=（5.10）由于(,,)u x y t 是单值函数，所以(,)V x y 也必是单值得，因此()θΘ应该是以2π为周期的周期函数，这就决定了μ只能等于如下的数：2220,1,2,,,n对应于2nnμ=，有00()2a θΘ=（为常数）()cos sin ,(1,2,)n n n a n b n n θθθΘ=+=以2nnμ=代入（5.10）得222()()()()0P P n P ρρρρλρρ'''++-=（5.11）这个方程与（2.93）相比，仅仅是两者的自变量和函数记号有差别，所以，它是n 阶贝塞尔方程。

若再作代换r =，并记()F r P=，则得222()()()()0r F r rF r r n F r '''++-=.这是n 阶贝塞尔方程最常见的形式。

由条件（5.8）及温度u 是有限的，分别可得()0(0)P R P =⎧⎪⎨<+∞⎪⎩ （5.12）因此，原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程（5.11）在条件（5.12）下的特征值与特征函数（（5.12中第一个条件是在Rρ=处的第一类边界条件，第二个条件是在0ρ=处的自然边界条件，由于2()k ρρ=在0ρ=处为零，所以在这一点应加自然边界条件）。

在下一节先讨论方程（5.11）的解法，然后在§5.5中再回过头来讨论这个特征值问题。

§5.2 贝塞尔方程的求解在上一节中，从解决圆盘的瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，本节来讨论这个方程的解法。

按惯例，仍以x 表示自变量，以y 表示未知函数，则n 阶贝塞尔方程为22222()0d y dy xxx n y dxdx++-=（5.13）其中n 为任意实数或复数。

我们仅限于n 为任意实数，且由于方程中的系数出现2n 的项，所以在讨论时，不妨先假定0n ≥。

设方程（5.13）有一个级数解，其形式为20120()c kc kk kk y x a a x a x a x ax∞+==+++++=∑ ，00a ≠ （5.14）其中常数c 和(0,1,2,)k a k = 可以通过把y 和它的导数,y y '''代入（5.13）来确定。

将（5.14）及其导数代入（5.13）后得220{[()(1)()()]}0c kk k c k c k c k xn a x∞+=++-+++-=∑化简后写成22221220122()[(1)]{[()]}0c c c kk k k c n a x c n a xc k n a a x∞++-=-++-++-+=∑要上式为恒等式，必须各个x 幂的系数全为零，从而得到下列各式： 1°220()0ac n -=；2°221[(1)]0a c n +-=；3°222[()]0(2,3,)k k c k n a a k -+-+== 。

由1°得c n =±，代入2°得10a =。

先暂取c n =，代入3°得 4°2(2)k ka a k n k --=+。

因为10a =，由4°知13570a a a a ===== ，而246,,,a a a都可以用0a 表示，即022(22)a a n -=+，424(22)(24)a a n n =++ ，6246(22)(24)(26)a a n n n -=+++ ，…202(1)2462(22)(24)(22)(1)2!(1)(2)()mm mma a m n n n m a m n n n m =-+++-=+++ .由此知（5.14）的一般项为202(1)2!(1)(2)()mn mma xm n n n m +-+++0a 是一个任意常数，让0a 取一个确定的值，就得（5.13）得一个特解。

把0a 取作012(1)na n =Γ+这样选取0a 可使一般项系数中2的次数与x 的次数相同，并可以运用下列恒等式：()(1)(2)(1)(1)(1)n m n m n n n n m ++-++Γ+=Γ++使分母简化，从而使（5.14）中一般项的系数变成221(1)2!(1)mm n ma m n m +=-Γ++ （5.15）这样就比较整齐、简单了。

以（5.15）代入（5.14）得到（5.13）的一个特解2120(1)(0)2!(1)n mmn mm xy n m n m +∞+==-≥Γ++∑用级数的比率判别法（或称达朗贝尔判别法）可以判定这个级数在整个数轴上收敛。

这个无穷级数所确定的函数，称为n 阶第一类贝塞尔函数。

记作220()(1)(0)2!(1)n mmn n mm xJ x n m n m +∞+==-≥Γ++∑ （5.16）至此，就求出了贝塞尔方程的一个特解()n J x 。

当n 为正整数或零时，(1)()!n m n m Γ++=+，故有220()(1)(0,1,2,)2!()!n mmn n mm x J x n m n m +∞+==-=+∑ （5.17）取c n =-时，用同样的方法可得（5.13）的另一特解220()(1)(1,2,)2!(1)!n mmn n mm xJ x n m n m -+∞--+==-≠Γ-++∑ （5.18）比较（5.16）式与（5.18）式可见，只要在（5.16）右端把n 换成n -，即可得到（5.18）式。

因此不论n 式正数还是负数，总可以用（5.16）统一地表达第一类贝塞尔函数。

当n 不为整数时，这两个特解()n J x 与()n J x -是线性无关的，由齐次线性常微分方程的通解的结构定理知道，（5.13）的通解为()()n n y AJ x BJ x -=+（5.19）其中,A B 为两个任意常数。

当然，在n 不为整数的情况，方程（5.13）的通解除了可以写成（5.19）式以外还可以写成其它的形式，只要能够找到该方程另一个与()n J x 线性无关的特解，它与()n J x 就可构成（5.13）的通解，这样的特解是容易找到的。

例如，在（5.19）中取cot ,csc A n B n ππ==-，则得到（5.13）的一个特解()cot ()csc ()()cos ()()sin n n n n n Y x n J x n J x J x n J x n n ππππ--=--=≠整数（5.20）显然，()n Y x 与()n J x 是线性无关的，因此，（5.13）的通解可以写成()()n n y AJ x BY x =+（5.21）由（5.20）式所确定的函数()n Y x 称为第二类贝塞尔函数，或称Neumann 函数。

§5.3 当n 为整数时贝塞尔方程的通解上一节说明，当n 不为整数时，贝塞尔方程（5.13）的通解由（5.19）或（5.21）式确定，当n 为整数时，（5.13）的通解应该是什么样子呢？ 首先，我们证明当n 为整数时，()n J x 与()n J x -是线性相关的。

事实上，不妨设n 为正整数N （这不失一般性，因n 为负整数时，会得到同样的结果），这在（5.18）中，1(1)N m Γ-++当0,1,2,,(1)m N =- 时均为零，这时级数从m N=起才开始出现非零项。

于是（5.18）可以写成222424()(1)2!(1)!(1){}2!2(1)!2(2)!2!(1)()N mmN n m m NNN N NNN N NN xJ x m N m xxx N N N J x -+∞--+=++++=-Γ-++=--++++=-∑即()N J x 与()N J x -线性相关，这时()N J x 与()N J x -已不能构成贝塞尔方程的通解了。

为了求出贝塞尔方程的通解，还要求出一个与()N J x 线性无关的特解。

取哪一个特解？自然我们想到第二类贝塞尔函数。

不过当n 为整数时（5.20）的右端没有意义，要想把整数阶贝塞尔方程的通解也写成（5.21）的形式，必须先修改第二类贝塞尔函数的定义。

在n 为整数的情况，我们定义第二类贝塞尔函数为()cos ()()lim()sin n nJ x J x Y x n ααααπαπ-→-=为整数 （5.22）由于当n 为整数时，()(1)()cos ()nnn n Jx J x n J x π-=-=，所以上式右端的极限为“00”形式的不定型的极限，应用洛必达法则并经过冗长的推导，最后得21002(1)()2212()()(ln)2(!)1m mm m k x x Y x J x c m k ππ∞-==-=+-+∑∑2102110021(1)!()()(ln )2!2(1)()1112 (),(1,2,3,)!()!11n mn n n m mn mn m m m k k x n m x Y x J x c m xn m n m k k πππ-+-=+∞+--===--⎛⎫=+- ⎪⎝⎭--+=+++∑∑∑∑（5.23）其中111lim (1ln)0.557223n c n→∞=++++-=，称为欧拉常数。